Límites y continuidad de una función Cálculo Diferencial

Límites y continuidad de una función

Cálculo Diferencial

Límites y continuidad de una función

Introducción

En esta Unidad conocerás los elementos que conforman las bases para el estudio del cálculo diferencial: función, límites y continuidad; también utilizarás el concepto de función para crear modelos matemáticos de situaciones reales, así como los conceptos de límites y continuidad para describir su comportamiento.

El papel fundamental del ingeniero, en cualquier campo de trabajo, es desarrollar soluciones para situaciones problemáticas, por tanto, los modelos matemáticos juegan un papel fundamental, ya que permiten estudiar las características y relaciones más importantes de forma concreta.

De ahí la necesidad de adentrarnos en el uso del lenguaje matemático haciendo énfasis en tres aspectos principales: concepto de función, representación gráfica y leyes matemáticas; a través de los cuales serás capaz de entender la utilidad de las funciones.

También analizarás dos conceptos básicos sobre los cuales se fundamenta el cálculo diferencial: límites y continuidad de funciones. Para ello considerarás los teoremas y relaciones de ambos conceptos, y estudiarás los procedimientos para analizarlos.

Finalmente usarás un enfoque matemático integral,en el que consideres tanto los procedimientos de cálculo, como el análisis gráfico de los resultados; a fin de que seas capaz de solucionar problemas e interpretar los resultados.

1. Concepto de función

Alrededor de 1887, a un grupo de niños de la clase de Aritmética se le solicitó sumar los números del 11 al 100100, mientras el resto de sus compañeros de clase llenaban sus cuadernos con operaciones y cálculos (1+2+3+4+5...)(1+2+3+4+5...). Un niño con sólo 9 años de edad realizó la suma con sólo una operación (Pérez, 2000).

Ese niño fue Carl Friederich Gauss, y descubrió una función que se sigue utilizando hasta nuestros días:

S(n)=n(n+1)2

A esta función se le conoce como la sumatoria de Gauss, con ella fue capaz de sumar los números del 11al 100100 utilizando una sola operación.

Te invito a que compruebes la solución.

El resultado según Gauss debe ser:

S(100)=100(100+1)2=5050S(100)=100(100+1)2=5050

Como podrás darte cuenta:

¡Una función matemática bien formulada puede ahorrarte horas de trabajo!

Pero:

• ¿Qué es una función?
• ¿Una función es un tipo de relación?
• ¿Para que se considere una función, ésta debe cumplir con reglas?
• ¿Las funciones tienen aplicación en mi vida cotidiana?

Lectura

Para que puedas dar respuesta a las preguntas antes planteadas, revisa la siguiente lectura:

• Relaciones y funciones

Una función se compone de varios elementos, para que los conozcas lleva a cabo lo que se te pide a continuación.

Lectura

Revisa la siguiente lectura:

• Componentes de una función

Como has podido darte cuenta, las funciones matemáticas son el lenguaje común para representar problemas; al establecer una función matemática creamos modelos que relacionan de forma lógica la información importante (variables y constantes) y nos permiten encontrar soluciones.

Antes de continuar, te invito a que te familiarices con estos conceptos: relaciones, intervalos, operaciones, gráficas, domino y rango.

Para que apliques lo que has aprendido realiza los siguientes ejercicios.

2. Límite de una función y teoremas sobre límites

2.1. Límites unilaterales

2.2. Límites bilaterales

2.3. Límites al infinito

2.4. Límites infinitos

El concepto de infinito siempre ha sido polémico en las disciplinas del conocimiento humano, por ello han sido muchos los científicos, filósofos, religiosos y artistas que a lo largo de la historia han intentado dar respuesta a una sencilla pregunta:

¿Qué es el infinito?

Desde filósofos griegos hasta matemáticos modernos han escrito muchas definiciones al respecto, pero quizás una de las más famosas se resume en la siguiente anécdota:

[pic 1]

Figura 3. Uveg, 2010.

En una ocasión al célebre matemático español Julio Rey Pastor se le preguntó su punto de vista respecto a la forma de definir y representar correctamente el infinito. A lo que respondió: Para mí el infinito comienza a partir de mil pesetas, haciendo referencia al bajo sueldo que ganaba como profesor (Alsina, 2009, p. 158).

Lectura

Como podrás darte cuenta, cada persona desarrolla un concepto de límite de acuerdo a su situación particular. Revisa la siguiente lectura para que conozcas cuál es el significado particular del infinito en el cálculo diferencial y revises los aspectos fundamentales de los límites: las condiciones necesarias para que exista un límite, las formas de evaluarlos y los casos especiales que involucran el concepto de infinito.

• Límites

3. Continuidad de funciones

Una función puede ser continua o discontinua en un intervalo. Si quieres conocer la explicación de conceptos fundamentales de continuidad como: concepto, condiciones para que exista, tipos de discontinuidad y el procedimiento necesario para identificar puntos e intervalos de discontinuidad, lleva a cabo lo que se te pide a continuación.

Lectura

Revisa la siguiente lectura:

• Continuidad

Como has podido darte cuenta, las funciones matemáticas son el lenguaje común para representar problemas. Además, al establecer una función matemática, creamos modelos que relacionan de forma lógica la información importante (variables y constantes) y nos permiten encontrar soluciones.

...