Máximos y mínimos

[pic 1]

[pic 2]

EJERCICIO

Ventas al menudeo

Una tienda vende dos marcas de camisas competidoras, una de ellas apoyada por Tim Duncan y la otra por Shaq O’Neal. El propietario de la tienda puede obtener ambos tipos a un costo de $2 por camisa y estima que si las camisas Duncan se venden en x dólares por pieza, y las camisas O’Neal en y dólares por pieza, los consumidores comprarán aproximadamente 40 − 50x + 40y camisas Duncan y 20 + 60x − 70y camisas O’Neal todos lo días. ¿ A qué precio debe vender el propietario las camisas para generar la máxima utilidad posible?

DATOS

› Costo de las camisas y función de demanda

› camisas Duncan: $2 ; función de demanda 40 − 50x + 40y

› camisas O’Neal: $2 ; función de demanda 20 + 60x − 70y

› Utilidad total

Utilidad total = utilidad por las ventas de las camisas Duncan + utilidad por la ventas de las camisas O’Neal

𝑓[pic 3]𝑥, 𝑦[pic 4] = [pic 5]𝑥 − 2[pic 6]40 − 50𝑥 + 40𝑦[pic 7] + (𝑦 − 2)(20 + 60𝑥 − 70𝑦) Solución

𝑓[pic 8]𝑥, 𝑦[pic 9] = [pic 10]𝑥 − 2[pic 11]40 − 50𝑥 + 40𝑦[pic 12] + (𝑦 − 2)(20 + 60𝑥 − 70𝑦)

Al aplicar la propiedad distributiva obtenemos:

› [pic 13]

[pic 14]

› Asociamos los términos semejantes y obtenemos:

𝑓[pic 15]𝑥, 𝑦[pic 16] = 20𝑥 − 50𝑥2 + 100𝑥𝑦 − 120 + 80𝑦 − 70𝑦2

› Organizamos la función

𝑓[pic 17]𝑥, 𝑦[pic 18] = −50𝑥2 + 100𝑥𝑦 + 20𝑥 − 70𝑦2 + 80𝑦 − 120

Derivadas de 𝑥 y 𝑦

› 𝑓𝑥[pic 19]𝑥, 𝑦[pic 20] = −100𝑥 + 100𝑦 + 20

› 𝑓𝑦[pic 21]𝑥, 𝑦[pic 22] = 100𝑥 − 140𝑦 + 80

Hallamos los puntos críticos Igualamos las derivadas a 0

› 𝑓𝑥𝑥, 𝑦= −100𝑥 + 100𝑦 + 20 = 0 → 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 1[pic 23][pic 24]

› 𝑓𝑦𝑥, 𝑦= 100𝑥 − 140𝑦 + 80 = 0 → 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 2

› Ambas ecuaciones las dividimos entre 20, para simplificarla.

𝑓𝑥[pic 25]𝑥, 𝑦[pic 26] = −5𝑥 + 5𝑦 + 1 = 0 → 𝑒𝑐𝑢. 1

𝑓𝑦 [pic 27]𝑥, 𝑦[pic 28] = 5𝑥 − 7𝑦 + 4 = 0 → 𝑒𝑐𝑢. 2

› Despejamos a 𝑥 en la 1ra ecuación  y obtenemos una tercera

𝑓𝑥 [pic 29]𝑥, 𝑦[pic 30] = −5𝑥 + 5𝑦 + 1 = 0

5𝑦 + 1 = 5𝑥

[pic 31]

› Reemplazamos la ecuación hallada  en la 2da ecuación

5𝑥 − 7𝑦 + 4 = 0

5𝑦 + 1

5− 7𝑦 + 4 = 0[pic 32]

5

Recordemos que (𝑎) = [pic 33]

        5𝑦 + 1        5𝑦 + 1

5        = 5 ∙ [pic 34][pic 35]

        5        5

[pic 36]

Así que:

5𝑦+1

5=5𝑦+1[pic 37]

5

La ecuación nos queda

› 5𝑦 + 1 − 7𝑦 + 4 = 0