SOLUCIÓN POR FACTORIZACIÓN

...

2(x2-4x+) = 0⬄2⬄2⬄2⬄[pic 31][pic 32][pic 33][pic 34]

2⬄⬄ ó [pic 35][pic 36][pic 37][pic 38]

⬄x = 2- ó x=2+⬄x2-1,58 ó x2+1,58⬄x0,42 ó x3,58 Luego, la solución de la ecuación es el conjunto {0,42, 3,58} .Muchos estudiantes cometen el siguiente error cuando tienen una ecuación como ésta x(3x-2)=0: pasan, a dividir, el factor x al otro lado de la ecuación, dejando como única solución la correspondiente a la ecuación 3x-2=0. Cuidémonos, por lo tanto, de cometer esta ligereza pues estaríamos eliminando una de las dos soluciones que tiene toda ecuación de segundo grado.[pic 39][pic 40][pic 41][pic 42][pic 43][pic 44]

EJERCICIO 5

Resolvamos la ecuación x2=16

Analicemos cada paso explicando lo que se hace: x2-16=0⬄(x+4)(x-4)=0⇨x+4=0 ó x-4=0⬄x= -4 ó x=4. Por lo tanto, la solución de la ecuación x2=16 es el conjunto S = {-4,4}

Este tipo de ecuaciones incompletas de segundo grado, en las cuales falta el término de primer grado bx, también podemos resolverlas aplicando la definición de raíz cuadrada de un número; así: x2=16⬄x= ó x=-⬄x=4 ó x=-4 ó en forma más simple: x = ± ó x = ± 4[pic 45][pic 46][pic 47]

EJERCICIO 6

Resolvamos la ecuación (x-6)2=10

Esta ecuación podemos resolverla de dos maneras: la primera, desarrollando (x-6)2, igualando a cero, factorizando y aplicando la propiedad ab=0; la segunda, aplicando la definición de raíz cuadrada como lo hicimos en el ejemplo anterior. Esta segunda manera es la más rápida. Veamos: x-6=±⬄x=6±⬄x=6+ ó x= 6- .Por lo tanto, la solución de esta ecuación es el conjunto S = {6+ , 6-}. Invitamos a resolver la ecuación de la otra manera y comparar no sólo los resultados sino los métodos.[pic 48][pic 49][pic 50][pic 51][pic 52][pic 53][pic 54]

EJERCICIO 7

Resolvamos la ecuación 2x2-3x+4=0

Damos un tiempo prudencial para que factorice el polinomio 2x2-3x+4.

¿Verdad que aparentemente, ninguno de los métodos sugeridos para factorizar este polinomio funciona? La razón es que probablemente este polinomio no tiene factores reales. Para comprobarlo, recordemos un criterio para saber si un polinomio de la forma ax2+bx+c tiene o no factores reales. El criterio es el siguiente: El polinomio ax2+bx+c NO tiene factores reales si la expresión b2-4ac es negativa.

En nuestro caso: a=2, b=-3 y c=4. Por lo tanto: b2-4ac=(-3)2-4(2)(4)=9-32=-23. Luego, b2-4ac es negativo y el polinomio 2x2-3x+4 no tiene factores reales. CONCLUSIÓN: Como el polinomio 2x2-x+4 no tiene factores reales, entonces la ecuación tampoco tiene soluciones o raíces reales.

EJERCICIO 8

Resolvamos la ecuación 4x2+9=12x

Tenemos: 4x2-12x+9=0⬄(2x-3)2=0⬄(2x-3)(2x-3)=0⬄2x-3=0 ó 2x-3=0⬄x = ó x = Luego, la solución de la ecuación es el conjunto S = = .Notemos que, en este caso, las soluciones de la ecuación son iguales: x = , x = . Esto ocurre cuando el polinomio ax2+bx+c es un trinomio cuadrado perfecto. También podríamos haber resuelto más rápido la ecuación si, en el paso donde (2x-3)2=0, aplicamos la definición de raíz cuadrada; así: (2x-3)2=0⬄2x-3=⬄ 2x- 3=0⬄2x=3⬄x= [pic 55][pic 56][pic 57][pic 58][pic 59][pic 60][pic 61][pic 62]

- SOLUCIÓN MEDIANTE LA FÓRMULA CUADRÁTICA

El método de completación al trinomio cuadrado perfecto nos permite resolver cualquier ecuación cuadrática, pero su aplicación suele ser bastante tediosa. Afortunadamente existe un método general y sencillo con el cual podemos resolver cualquier ecuación de segundo grado. Este método es el de la FORMULA CUADRÁTICA. Esta fórmula, bastante popular entre los estudiantes de secundaria, se deduce al aplicar a la forma general de la ecuación cuadrática ax2+bx+c=0 el método de completación al trinomio cuadrado perfecto. Observemos todo el proceso:

; a≠0 Si dividimos ambos lados por a obtenemos:[pic 63]

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Restando a ambos lados nos queda:[pic 65][pic 66]

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Ahora sumamosa ambos lados de la igualdad para que el lado izquierdo sea un trinomio cuadrado perfecto:[pic 68][pic 69][pic 70]

Pero [pic 71][pic 72]

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Ahora sumamos las fracciones del lado derecho:[pic 74]

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Saquemos raíz cuadrada a ambos lados:[pic 76]

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Simplifiquemos el radical del lado derecho:[pic 78]

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Despejamos la x:[pic 80]

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Finalmente, sumamos las fracciones de igual denominador del lado derecho:[pic 82][pic 83]

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Esta última expresión: es la fórmula para resolver cualquier ecuación de segundo grado y debe utilizarse cuando no dan resultado o son difíciles otros métodos como el de la factorización. Se llama FÓRMULA CUADRÁTICA o FÓRMULA DEL BACHILLER, por su popularidad entre los estudiantes de secundaria. La expresión b2-4ac, que aparece dentro de la raíz cuadrada en la fórmula cuadrática, se denomina DISCRIMINANTE y es muy importante ya que nos proporciona información útil acerca de las soluciones o raíces de la ecuación; así:

- Si b2-4ac es positivo, entonces ax2+bx+c=0 tiene dos soluciones reales distintas.

- Si b2-4ac=0, entonces ax2+bx+c=0 tiene dos soluciones reales iguales (una solución real repetida).

- Si b2-4ac es negativo, entonces ax2+bx+c=0 no tiene soluciones reales y ambas son complejas.

Recordemos que esta misma expresión fue la que utilizamos para saber si un polinomio cuadrático tenía o no factores reales. Las soluciones de la ecuación cuadrática ax2+bx+c=0 pueden obtenerse factorizando el polinomio