Cobweb Plot.

...

en un

sistema realista debe corresponder a un punto fijo estable

Conceptos de estabilidad de puntos fijos:

Si el punto fijo es inestable, los pequeños errores o perturbaciones en el estado podría causar la órbita de alejarse desde el punto fijo, lo cual no se observa.

Cuando queremos llamar al punto fijo 0 "inestable" es cuando los puntos fijos están muy cerca de 0 y tienden a pasar de 0.

El concepto de "cerca" se hace referencia precisando a todos los números reales en

e una distancia de p como el barrio épsilon e (p).

Definición 1:

Tomemos f ser un mapa de R y dejar que p ser un número real tal que

f (p)= p. Si todos los puntos estan suficientemente cerca de p se sienten atraídos por p, entonces p se llama atracción de punto fijo. Mas precisamente si hay un ε>0 tales que para todas las x en un conjunto cercano Ne(p),limk→ fk(x) =p entonces p tiende a undirse. Si todos los puntos son suficientemente cerca de p seran repelidos de p, entonces p es llamado fuente o punto fijo repelente

Teorema 1.5 dejemos a f ser a un mapa en R, y asumiendo que p es un punto fijo de f:

1.- si |f´(p)|<1 entonces p tendra a undirse

2.- si |f’(p)|>1, entonces p sera una fuente

3 Puntos periódicos

Cambiando la constante a, de proporcionalidad en el logisticmap ga(x)=ax (1-x), cuando a = 3.3 el punto fijo es x =0 y x= 23/33=.696969…, Ahora no hay puntos fijos en torno a las órbitas que puedan atraer, las orbitas se establecen dentro de un patron de valores alternativos: donde x= 0.02 p1=.4794 y p2 = .8236, donde x=0.04 p1= 0.4793 y p2=0.8236, donde x=0.99 p1=0.7752 y p2=0.6227 estos resultados muestran un típico comportamiento de una orbita convergiendo en un periodo 2 {p1, p2} fig1.4. Algunos resultados de periodos dos son mostrados en la tabla 1.2.

n gn(x) gn(x) gn(x)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15 0.02000

0.19963

0.52728

0.82254

0.48168

0.82389

0.47880

0.82351

0.47960

0.82363

0.47937

0.82360

0.47944

0.82361

0.47942 0.04000

0.12672

0.36518

0.76502

0.59321

0.79632

0.53523

0.82090

0.48517

0.82427

0.47799

0.82340

0.47985

0.82366

0.47930

0.99000

0.03267

0.10428

0.30826

0.70368

0.68809

0.70824

0.68189

0.71581

0.67129

0.72817

0.65319

0.74755

0.62276

0.77526

Tabla 1.2 3 diferentes orbitas de el mapa logístico g(x)=3.3x (1-x). Cada uno enfocado a una orbitas de periodo 2

(a) (b) (c)

Figura 1.4 orbitas convergiendo a periodo dos.

Las líneas de trazo discontinuo forma una parcela telaraña muestra una órbita que se mueve periódicamente en la órbita. (a) condición inicial = 0.2. (b) condición inicial =0.4 (c) condición inicial =0.99. (Cortesía del laboratorio de aplicaciones ópticas y sistemas dinámicos, CULAGOS, Universidad de Guadalajara)

Hay dos partes importantes en este hecho:

1.- aparentemente hay coincidencia en g(p1)=p2 y g(p2)=p1.

2.- esta oscilación periódica entre p1 y p2 son estables y atrae a las orbitas su comportamiento se mostrará en un sistema de modelado físico por g.

Definición 1.6

Dejemos a f ser un mapa en R, llamaremos a p un punto periódico de período k si fk (p) = p, y si k es una pequeña integral tales que, la orbita con punto inicial p es llamado punto periódico de periodo k. nosotros iremos usando a menudo periodo de punto k y la orbita del punto k

Definición 1.7

Dejemos a f ser el mapa y asumamos que p es un periodo de punto k. el periodo de k de la orbita p es un periodo hundido si p esta hundido por el mapa fk. La orbita de p es una fuente periódica si p es una fuente para el mapa fk

Ahora el comportamiento de periodo