Factorización.

...

y aunque las tres respuestas son correctas, sólo con la última se logra la máxima factorización posible, por lo tanto:

ab³ - b5 c² - 7b4x = b³ (a - b² c² - 7bx)

Como puedes observar, la menor potencia con la que aparece la literal común b en todos los términos del polinomio ab³ - b5 c² - 7b4x es b³ y con ella se logró la máxima factorización con este método.

De acuerdo con lo anterior, se puede establecer que las literales comunes para todos los términos de un polinomio, deben sacarse como factores comunes con su menor potencia para lograr la máxima factorización por este método.

- Factorizar: 20a²x8 + 8b5 x5

Aquí, la menor potencia de la literal común es x5 y se puede escribir de las maneras siguientes:

x5 (20a²x8 ) + x5 (8b5 )

2 x5 (10a²x8) + 2 x5 (4b5 )

4 x5 (5²x8) + 4 x5 (2b5 )

El factor común de los términos del polinomio puede ser: x5, 2 x5 o 4 x5 y al factorizarlo queda:[pic 2]

x5 (20 a²x8 + 8 b5 )

20a²x8 + 8b5 x5 = 2 x5 (10 a²x8 + 4 b5)

4 x5 (5 a²x8 + 2 b5)

Y aunque las tres respuestas son correctas, en las dos primeras no se llega a la máxima factorización posible con este método, ya que en su segundo factor todos los términos siguen conteniendo a 2 o 4 como factor común; por tal motivo:

20a²x8 + 8b5 x5 = 4 x5 (5 a²x8 + 2 b5)

Como puedes observar, el máximo factor común o máximo común divisor de los coeficientes numéricos del polinomio 20a²x8 + 8b5 x5 es 4 y con él se logró la máxima factorización posible con este método. Por tal motivo, para lograr la máxima factorización posible utilizando este método, se debe sacar como factor común, al máximo común divisor de los coeficientes numéricos de los términos del polinomio.

- Factorizar: 30a³bx² - 18a 7 xy5 - 48a5 c³x³

Los divisores comunes de los coeficientes numéricos son: 1, 2, 3, 6; por lo tanto, el máximo común divisor es 6. Las literales comunes en su menor potencia son: a³x; así pues, el mayor factor común de los términos del polinomio es: 6a³x, por lo cual:

30a³bx² - 18a 7 xy5 - 48a5 c³x³ = 6a³x (5bx – 3a4y5 – 8a²c³x²)

Los factores monómicos como 6a³x deberían descomponerse en sus factores primos de la manera siguiente: 6a³x = (2) (3) aaax, pero arbitrariamente se acostumbra a dejarlos sin factorizar.

- Factorizar: 7x³y – 20x4 y² - 18ax5

Divisores numéricos comunes: 1; mcd = 1. Literales comunes con su menor exponente: x³. Máximo factor común de los términos: x³. Por lo tanto:

7x³y – 20x4 y² - 18ax5 = x³ (7y – 20xy² - 18ax² - 3)

- Factorizar: 24a²z + 16b³y² - 32x5

Divisores numéricos comunes: 2, 4 y 8; mcd = 8. No hay literales comunes. Máximo factor común de los términos: 8. Por lo tanto:

24a²z + 16b³y² - 32x5 = 8 (3a²z + 2b³y² - 4x5)

- Factorizar: 24a³b²x4 – 60a²b³x² + 36b5 x4 y³

Divisores numéricos comunes: 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 12; mcd = 12. Literales comunes con su menor exponente: b²x². Por lo tanto:

24a³b²x4 – 60a²b³x² + 36b5 x4 y³ = 12b²x² (2a³x² - 5a²b + 3b³x²y³)

1.2.1 Ejercicio

- 6a²b³ - 18a4b² =

- 12a³x – 48b5 x² - 18x³y =

- 8ax³ + 9x²y + 5a4b² =

- 14a³ + 28ax² - 49x =

- 5a5 b²x³ - 17b5x4y² - 13b²cx³ =

- 18a³ (x + 3) – 30a4 (x + 3) 5 – 42a² (x + 3)³

Nota: Considérese a (x + 3) como una literal.

-

Factorización por agrupación de términos

Dicho caso se presenta cuando no existe un factor común en todos los términos del polinomio, pero que pueden formarse grupos con el mismo número de términos que sí contengan a un factor común. Esos polinomios provienen siempre de la multiplicación de otros polinomios, y el procedimiento para factorizarlos es similar al del caso anterior.

Así, por ejemplo, al multiplicar los polinomios A+B y C+D+E; (A+B)(C+D+E) = (A+B) C + (A+B) D + (A+B) E = AC + BC + AD + BD + AE + BE se obtiene el polinomio: AC+BC+AD+BD+AE+BE, en el cual no existe ningún factor común para todos los términos, pero pueden formarse grupos con el mismo número de términos que contengan a un factor común de las maneras siguientes.

- (AC+BC) + (AD+BD) + (AE+BE)

- (AC+AD+AE) + (BC+BD+BE)

Invirtiendo ahora el proceso de la multiplicación, cada grupo formado puede factorizarse mediante el procedimiento anterior quedando:

- C (A+B) + D(A+B) + E(A+B)

- A (C+D+E) + B (C+D+E)

Como el factor polinomio (A+B) o bien (C+D+E) de cada grupo formado es común para todos los grupos, puede sacarse como tal y el polinomio quedará factorizado:

- (A+B) (C+D+E)

- (C+D+E) (A+B)

Recuerda que el orden de los factores no altera el producto, según la propiedad conmutativa de la multiplicación.

Cuando el factor polinomio de cada grupo no resulte ser común para todos los grupos formados, será necesario ensayar con otras formas diferentes de agrupación hasta lograrlo; pero si después de haber ensayado con todas las formas posibles de agrupación no se logra que el factor polinomio sea común para todos los grupos formados, entonces podremos asegurar que el polinomio no se puede factorizar por este método.

Ejemplos: