Inedto

Sea ABC un triángulo con ortocentro H, la altura desde A corta a BC en D. Sea M y N los puntos medios de BH y CH respectivamente. DM y DN intersectan a AB y AC en X y Y respectivamente. Si XY interseca a BH y CH en P y Q.
Demuestre que el cuadrilátero HPDQ es cíclico.

Sea ABC talque AB>AC con circuncírculo Ω. Se trazan las tangentes a Ω por B y C, estas se intersectan en P, sea Q un punto sobre BC tal que AP es perpendicular a AQ, sea R un punto sobre el segmento PQ con RP=CP Y RC intersecta a Ω en H.
Demuestre que la recta QA pasa por H.

Sea A1A2A3 un triángulo con circuncírculo Ω y ortocentro H. La circunferencia con diámetro AiH interseca a Ω en el punto Bi, distinto de Ai, para i = 1, 2, 3. Las rectas AiBi+1 y Ai+1Bi se intersecan en Ci para i = 1, 2, 3, donde los subíndices son tomados módulo 3.
Demuestre que los puntos C1, C2, C3 y el centroide de ABC están alineados. (Publicado en la Revista Matemática Del Programa Jóvenes Talento, El Salvador)

Sea ABC un triángulo no isósceles, se traza la bisectriz AA1 con A1 sobre BC. Sean A2 y A3 las intersecciones de las bisectrices de los ángulos AA1C y AA1B con AC y AB respectivamente y A4 la intersección de A2A3 con BC. Análogamente se definen los puntos B4 y C4.
Demostrar que los puntos A4, B4, y C4 están a lineados.

Sea ABC un triángulo no isósceles, se traza la altura AA1 con A1 sobre BC. Sean A2 y A3 los pies de las perpendiculares trazadas por A1 sobre AC y AB respectivamente y A4 la intersección de A2A3 con BC. Análogamente se definen los puntos B4 y C4. Demostrar que A4, B4 y C4 están alineados.

Sea A1A2A3 un triángulo no isósceles con circuncírculo Ω y ortocentro H. Las circunferencias con diámetro AiH se intersectan con Ω en los puntos Bi (≠Ai). Las rectas AiBi+1 y Ai+1Bi se intersectan en Ci. Demostrar que los puntos Ci y el gravicentro están alineados. (Los valores de i+1 son residuos módulo 3) Fig. 1