ANALISIS DE SERIES DE TIEMPO: AJUSTE DE TENDENCIA Y ESTACIONALIDAD

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Posteriormente, en la descomposición de la serie original y del logaritmo de la misma, tal como se muestra en la Figura 2 (Izquierda), se observa inicialmente la tendencia (la tendencia de la serie sin el efecto estacional, es observada en la Figura 2 (Derecha)). A pesar que en la gráfica original no se evidenciaba una estacionalidad, según esta descomposición, aparentemente la hay.

[pic 5][pic 6]

Figura 2. Descomposición multiplicativa de la serie original (Izquierda) y aditiva del logaritmo (Derecha) de la serie de tiempo.

De las figura 2 se puede considerar un modelo deterministico para ajustar globalmente la tendencia, pues se observa que en general el patron de la serie es creciente y lo hace de forma no lineal, la cual puede ser ajustada mediante alguna función polinómica. También se observa una componente estacional repetida anualmente que tiende a aumentar con la tendencia.

Se puede concluir que la descomposición de la serie del logaritmo con componentes aditivas (Figura 2 izquierda), presenta en general menor variabilidad y es constante a través del tiempo en comparación con la descomposición de la serie original de componentes multiplicativas (Figura 2 derecha) tal y como se observó anteriormente, razón por la cual se formularán modelos tanto logarítmicos, como exponenciales de la serie.

[pic 7]

Figura 3. Tendencia del logaritmo de la serie

La componente cíclica es difícil de modelar y pronosticar, ya que sus marcos de tiempo son mucho más amplios; analizando la línea de tendencia (trend) observada en la figura 3 y con base en la descomposición de la serie en las figura2 (Derecha)se puede determinar que hay posible presencia de ciclos debido a las fluctuaciones en la tendencia, al igual que en la componente de error, estos ciclos por lo general están asociados acrecimiento y decrecimiento de la economía, como se había mencionado anteriormente.

Se mencionó la posibilidad de la presencia de componente estacionaria repetida cada año, para reafirmar esta idea se realiza el grafico de box-plot y así poder mirar el comportamiento trimestral año tras año.

[pic 8]

Figura 4. Boxplot del comportamiento de la serie de tiempo original

[pic 9]

Figura 5. Componente estacional de los primeros 36 periodos

De la Figura 4 y Figura 5 se puede inferir que la serie presenta componente estacional con un periodo de cuatro trimestres (s=4) ya que las cajas tienen diferentes alturas y la media no es constante todos los trimestres. Se observa que el trimestre que presenta mayor altura es el cuarto y esto ocurre en todos los años como se puede ver en Figura 5 que presenta picos muy altos al final de cada año, esto puede deberse a las fiestas navideñas que por lo general las personas tienden a adquirir electrodomésticos y muebles, ya que por esta época, los trabajadores reciben la prima navideña y están más susceptibles a adquirir estos bienes. De lo anterior, estos gráficos también nos proporcionan más certeza para concluir que la serie presenta varianza no constante.

3.3 Postulación de modelos

Como habíamos visto que la serie presentaba componentes multiplicativos entonces solo se mostrará la descomposición multiplicativa de la serie original la cual es explicada por la (ecuacion1) y la descomposición aditiva de la serie en escala logarítmica la cual es explicada por la transformación de la ecuación 1 y que esta referenciada como (ecuacion2).

(1)[pic 10]

) (2)[pic 11]

Dónde [4]:

Ventas trimestrales de Electrodomésticos y Muebles del hogar.[pic 12]

: Componente de Tendencia[pic 13]

: Componente Estacional[pic 14]

: Componente de Error y componente cíclica [pic 15]

Se asume que el Error es “iid” y se distribuye normal con media cero y varianza constante. Como se describe en (3).

(3)[pic 16]

Los modelos totalmente multiplicativos, son de la forma , y se ajustará el logaritmo de la serie como una serie de componentes aditivas así:[pic 17]

´, con [pic 18][pic 19]

Y, los modelos parcialmente multiplicativos, son de la forma , el cual puede escribirse como:[pic 20]

con.[pic 21][pic 22]

Para ambos casos,

[pic 23]

Se utilizaran variables indicadoras ya que la forma de a lo largo de los años es aproximadamente constante como se puede observar en la Figura 5.[pic 24]

Las variables indicadoras i= 1,2,…s-1, tales que:[pic 25]

[pic 26]

Modelos De Ajuste Global:

- Modelos totalmente multiplicativos

Modelo 1: Modelo Log-cúbico estacional. Se considera un modelo de regresión global con un polinomio de grado 3 que mida la tendencia y estacionalidad trimestral determinística para el logaritmo de la serie. La ecuación (4) representa el modelo propuesto.

, (4)[pic 27][pic 28]

[pic 29]

Modelo 2: Modelo Log-Polinomio grado 4 estacional. Se considera un modelo con tendencia polinómica de grado 4 y estacionalidad trimestral determinística para el logaritmo de la serie. La ecuación (5) representa el modelo propuesto.

, (5)[pic 30][pic 31]

[pic 32]

- Modelos parcialmente multiplicativos

Modelo 1a: Modelo exponencial cuadrático estacional. Se considera un modelo exponencial con tendencia polinómica de grado 2 y estacionalidad trimestral determinística.

, [pic 33][pic 34]

Para ajustar el modelo 1a se usarán como valores iníciales para los parámetros,