La permutación.

...

Esto implica para las demás permutaciones de [pic 82][pic 83] se definen respectivamente como

[pic 84]

[pic 85]

[pic 86]

[pic 87]

[pic 88]

[pic 89]

[pic 90]

[pic 91]

[pic 92]

[pic 93]

[pic 94]

En esto notamos que el número que se encuentra en el segundo renglón es la imagen con respecto a [pic 95][pic 96] del numero que se encuentra en el primer renglón directamente sobre él.

Se dice por consiguiente que una permutación es un desarreglo cuando se entienda como una aplicación biyectiva no hay elemento que sea imagen de sí mismo

Por lo tanto los desarreglos a listar para [pic 97][pic 98] por medio de sus permutaciones son

2143, 2341, 2413, 3142, 3412, 3421, 4123,4312, 4321.

Finalmente vemos que el número de desarreglos para [pic 99][pic 100] son 9.

¿Cuántos arreglos hay en [pic 101][pic 102]?

Sea [pic 103][pic 104] y considerando que

[pic 105]

Se emplea el arreglo de la notación matricial de la permutación definida como [pic 106][pic 107] es

[pic 108]

Esto implica estar contando la permutación que dejan fijos exactamente [pic 109][pic 110] elementos considerando dejar fijo [pic 111][pic 112] elementos es lo mismo que tachar [pic 113][pic 114] elementos entre los [pic 115][pic 116] que tenemos y tomar un arreglo generalizado para [pic 117][pic 118] con [pic 119][pic 120] restantes.

Por consiguiente denotemos el arreglo a [pic 121][pic 122] como el número de permutaciones que dejan fijo exactamente [pic 123][pic 124] elementos se tiene entonces que

[pic 125]

Donde [pic 126][pic 127] es la relación del desarreglo de las formas posibles de efectuar una permutación de recurrencia

Finalmente por consiguiente decimos que el arreglo en [pic 128][pic 129] esta dado por

[pic 130]

Por lo tanto el número de arreglos en [pic 131][pic 132] es el número de [pic 133][pic 134] veces posibles.

[pic 135]

Para [pic 136][pic 137] se declara que [pic 138][pic 139] esto quiere decir que [pic 140][pic 141] y [pic 142][pic 143] son conjugados en [pic 144][pic 145], si existe un [pic 146][pic 147] tales que [pic 148][pic 149] si y solo si [pic 150][pic 151]

Se asegura que esto define una relación de equivalencia en [pic 152][pic 153].

Consideremos primero que [pic 154][pic 155] para [pic 156][pic 157] y después si [pic 158][pic 159] tenemos entonces que [pic 160][pic 161] y por consiguiente

[pic 162]

Así que [pic 163][pic 164]

Finalmente por lo tanto decimos que si [pic 165][pic 166] entonces [pic 167][pic 168] si y solo si [pic 169][pic 170], y además definiendo a [pic 171][pic 172] para ciertos [pic 173][pic 174]

Concluimos así que

[pic 175]

Y por lo tanto [pic 176][pic 177]

Se concluye que se ha establecido una relación de equivalencia definida en [pic 178][pic 179].

Bibliografía consultada

Herstein I.N.(1970) Algebra Moderna Editorial Trillas

Herstein I.N.(1988) Algebra Abstracta Editorial Grupo Editorial Iberoamérica