Teorem de Sharkovskii.

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• Considere la función j (x) = -x. Esta función tiene 0 como punto fijo y todos los otros puntos son periódicos con el período fundamental 2: para x = 5: j (5) = -5 ..... j2 (5) = j (j (5)) = j (-5) = 5.

En todas las funciones anteriores es fácil encontrar puntos periódicos y su período fundamental. Si observamos la función f (x) = k ∙ x (1 - x) se vuelve más interesante. Si k = 3½, entonces tenemos puntos con menos períodos 1, 2 y 4 [Ciesielski et al, 2008]. ¿Podemos encontrar una función con el período fundamental 3?

Vamos a encontrar una función continua definida para todos los números reales con f (1) = 3, f (2) = 1 yf (3) = 2. Dibujamos la gráfica de tal función, figura A:

[pic 1]

Cuando observamos el gráfico, debe quedar claro que el valor 1, 2 y 3 tiene un período mínimo 3.

En lo anterior hemos estado interesados ​​en encontrar puntos periódicos de una función fy los periodos posibles. El teorema de Sharkovski es muy útil aquí.

El teorema de Sharkovski indica que si una función f tiene un punto periódico con el período fundamental m y m ◄ n en el orden dado anteriormente (*), entonces f tiene también un punto periódico con el período fundamental n. Esto significa que si f tiene un punto del periodo 2 entonces podemos afirmar que f también tiene un punto del periodo 1 (punto fijo), pero no podemos decir nada sobre los puntos con el período 4. Además, si hay un punto periódico del período Tres, entonces hay puntos periódicos de todos los demás períodos.

El teorema también nos da que si k ◄ n, entonces podemos encontrar una función que tiene un punto con período fundamental n pero ninguno con k.

Anteriormente hicimos una suposición de continuidad, que es muy importante. Busque, por ejemplo, la función discontinua f: x → (1 - x) -1. Cada valor tiene el período 3, que sería un contraejemplo.

Además, se señalará que el resultado de Sharkovski es unidimensional. Considere una rotación de un plano de 120 °. La iteración de esta rotación tiene el centro de rotación como un punto fijo y todos los demás puntos en el plano son periódicos con el período fundamental 3.

No voy a probar el teorema en este informe, pero sólo dar un poco de información sobre la prueba de Sharkovski y pruebas posteriores. La prueba de Sharkovski no contiene "fuegos artificiales" matemáticos y no utiliza resultados avanzados, sino que se basa en el uso repetido de la propiedad de valor intermedio. Antes de publicar el teorema real, demostró que si una asignación continua tiene un punto con el período fundamental 2n, entonces también tiene puntos con el período fundamental 2n-1, 2n-2, ..., 21. También demostró que si k no es Una potencia de 2 y se puede encontrar un punto periódico con un período menor k, entonces también se puede encontrar un punto periódico con un período mínimo 2n, para todos los n [Ciesielski et al, 2008].

En demostraciones modernas más últimas del teorema de Sharkovski usted encuentra generalmente tres pasos básicos. Si denotamos la propiedad: 'si f tiene un punto con el período fundamental k, entonces tiene un punto con el período fundamental n' por 'k || - n', entonces los 3 pasos son los siguientes. Primero se muestra que n || - 2 para n> 2, luego se muestra que k || - n para todo k impar y 3 k

Li y Yorke (1975) demostraron que la presencia de un punto periódico del período 3, en un mapeo continuo de un intervalo cerrado sobre sí mismo, implica la presencia de puntos periódicos de todos los demás períodos [Burns et al, 2007]. Debe quedar claro que esto es sólo una parte del resultado de Sharkovski.

También demostraron que la existencia de un punto con un período mínimo 3 implica la existencia, en el intervalo, de un "gran" conjunto de puntos que nunca vuelven a su inicial bajo iteración, y se comportan de una manera muy errática y caótica [Ciesielski Et al, 2008].

El teorema es como se indicó al principio un resultado clásico en la teoría de sistemas dinámicos porque los ingredientes de un sistema dinámico son un conjunto y el mapeo de este conjunto en sí mismo. Si un sistema dinámico describe cierto fenómeno o proceso, es importante saber que una situación específica concreta se repetirá [Ciesielski et al, 2008].

Generalizaciones

Cuando el papel de Sharkovski fue publicado en 1964 pasó desapercibido pero en los últimos 30 años sus resultados han estado atrayendo la atención de muchos matemáticos. Una serie de personas han sugerido nuevas versiones de la prueba como se mencionó. Otros matemáticos han investigado la posibilidad de extender los resultados a estructuras más complejas, a clases más amplias de mapas (discontinuos, multivalorados, etc.), a diferentes tipos de espacios de fase (unidimensional: círculo, estrellas o incluso multidimensional e infinito -dimensional). Todos estos nuevos estudios han llevado a un aumento de una nueva sección en la Clasificación de Materias Matemáticas de AMS [www.scholarpedia.org].

Referencias

Burns K & Hasselblatt B; Teorema de Sharkovsky, 2 de marzo de 2007, s. 1-14.

Ciesielski K. & Pogoda Z .; Sobre la Orden de los Números Naturales o El Teorema de Sharkovski, The Evolution of .... editado por A. Shenitzer & J. Stillwell; American Mathematical Monthly, febrero de 2008, 159-165.

Nørgård-Sørensen Sune y Falsled Mikkel; Kaotiske systemer, Almen Matematisk Dannelse, Matematisk afdeling KU, Forår 2002, s. 5-15.

Sitios web:

[Http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Sharkovsky.html]

[Http://mathworld.wolfram.com/SharkovskysTheorem.html]

[Http://en.wikipedia.org/wiki/Sharkovskii%27s_theorem]

[Http://www.scholarpedia.org/article/Sharkovsky_ordering]