USO DE LA SEGUNDA LEY DE NEWTON PARA DERIVAR ECUACIONES DE MOVIMIENTO

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- Se ve que las ecuaciones diferenciales del sistema de resorte-m asa considerado en el ejemplo 1.1 (figura 1.1) están acopladas; cada ecuación implica más de una coordenada. Esto significa que las ecuaciones no se pueden resolver de manera individual una a la vez. Sólo pueden resolverse simultáneamente. A demás, se ve que el sistema está estáticamente acoplado, puesto que sus rigideces están acopladas, es decir, la matriz de rigidez tiene al menos un término diagonal fuera de la diagonal. Por otra parte, si la matriz de masa tiene al menos un término no cero fuera de la diagonal, se dice que el sistema está dinámicamente acoplado. A demás, si las matrices tanto de rigidez como de masa tienen términos no cero fuera de la diagonal, se dice que el sistema está tanto estática como dinámicamente acoplado.

EJEMPLO 1.2 Ecuaciones de movimiento de un sistema de remolque y péndulo compuesto.

Derive las ecuaciones de movimiento del sistema de remolque y péndulo compuesto que se muestra en la figura 1.4(a).

Solución:

Método: Trace los diagramas de cuerpo libre y aplique la segunda ley del movimiento de Newton. Las coordenadas [pic 31]: se utilizan para describir, respectivamente, el desplazamiento lineal del remolque y el desplazamiento angular del péndulo compuesto desde sus correspondientes posiciones de equilibrio estático. Cuando se suponen valores positivos para los desplazamientos [pic 32], velocidad [pic 33] , así como las aceleraciones [pic 34] , las fuerzas extremas que actúan en el remolque serán la fuerza aplicada [pic 35] las fuerzas de resorte [pic 36] las fuerzas de amortiguamiento [pic 37],como se muestra en la figura 1.4(b). Las fuerzas externas que actúan en el péndulo compuesto serán el par de torsión aplicado [pic 38] y la fuerza de la gravedad mg. como se muestra en la figura 1.4(b). Las fuerzas de inercia que actúan en el remolque y el péndulo compuesto se indican por medio de las líneas de rayas en la figura 1.4 (b). Observe que el movimiento rotacional del péndulo compuesto alrededor del punto O conectado a la bisagra induce una fuerza radialmente dirigida hacia adentro (hacia O) [pic 39] y una fuerza normal (perpendicular a O C ) [pic 40] cómo se muestra en la figura 1.4(b). La aplicación de la segunda ley de Newton para el movimiento de traslación en la dirección horizontal resulta

[pic 41] (E1)

[pic 42] (E2)

Notas:

- Se ve que las ecuaciones de movimiento, ecuaciones (E1) y (E2) son no lineales por la presencia de los términos que implican [pic 43]

- las ecuaciones (E1) y (E2) se pueden linealizar si se supone que el término que implica [pic 44]es insignificantemente pequeño y que los desplazamientos son pequeños de modo que[pic 45]. Las ecuaciones linealizadas se derivan como.

[pic 46] (E3)

[pic 47]

[pic 48]

Figura 1.4 Sistema de péndulo compuesto y remolque.

[pic 49] (E4)

ECUACIONES DE MOVIMIENTO PARA VIBRACIÓN DE DOS GRADOS DE LIBERTAD.

Considere un sistema de resorte-masa viscosamente amortiguado de dos grados de libertad, como el que se muestra en la figura. Las coordenadas [pic 50] describen totalmente el movimiento del sistema, las cuales definen las posiciones de las masas [pic 51]en cualquier momento t con respecto a las posiciones de equilibrio respectivas. Las fuerzas externas [pic 52] actúan en las masas[pic 53]. Respectivamente. Los diagramas de cuerpo libre de las masas [pic 54] se muestran en la figura. La aplicación de la segunda ley del movimiento de Newton a cada una de las masas proporciona las ecuaciones de movimiento:

[pic 55]

Se ve que la ecuación contiene términos que implican X2 (es decir . [pic 56], en tanto que la ecuación contiene términos que implican X1 , (es decir , [pic 57]. Por consiguiente representa n un sistema de dos ecuaciones diferenciales acopladas de segundo orden. De este modo, se puede esperar que el movimiento de la masa m1 influya en el movimiento de la masa m2 y viceversa. Las ecuaciones se pueden escribir en forma matricial como

[pic 58]

Donde [m], [c] y [k] se conocen como matrices de masa, amortiguamiento y rigidez, respectivamente. Y se expresan como

[pic 59]

Y [pic 60]son los vectores de desplazamiento y fuerza, respectivamente, y se expresan como

[pic 61]

Se ve que [m], [c] y (k) son matrices de 2 X 2 cuyos elementos son las masas, coeficientes de amortiguamiento y rigideces conocidos del sistema, respectivamente. Además, se ve que estas matrices son simétricas, de modo que

[pic 62]

COEFICIENTES DE INFLUENCIA

Las ecuaciones de movimiento de un sistema de varios grados de libertad también se pueden escribir en función de coeficientes de influencia, los cuales se utilizan extensamente en ingeniería estructural. Básicamente, se puede asociar un conjunto de coeficientes de influencia con cada una de las matrices implicadas en las ecuaciones de movimiento. Los coeficientes de influencia asociados con las matrices de rigidez y masa, se conocen, respectivamente, como coeficientes de influencia de rigidez e inercia. En algunos casos, es más conveniente reescribir las ecuaciones de movimiento utilizando la inversa de la matriz de rigidez (conocida como matriz de flexibilidad) o la inversa de la matriz de masa. Los coeficientes de influencia correspondientes a la matriz de rigidez inversa se conocen como coeficientes de influencia de flexibilidad y los correspondientes a la matriz de masa inversa se conocen como coeficientes de inercia inversos.

COEFICIENTES DE INFLUENCIA DE RIGIDEZ

En un resorte lineal simple, la fuerza necesaria para producir un alargamiento unitario se conoce como rigidez del resorte. En sistemas más complejos podemos expresar la relación entre el desplazamiento en un punto y las fuerzas que actúan en varios otros puntos del sistema por medio de coeficientes de influencia de rigidez. El coeficiente de influencia de rigidez, denotado como [pic 63], se