“DISTRIBUCIÓN DE FISHER SNEDECOR”

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APLICACIONES DE LA DISTRIBUCIÓN F DE SNEDECOR:

Hay muchas aplicaciones de la F en estadística y, en particular, tiene un papel importante en las técnicas del análisis de la varianza (ANOVA) y del diseño de experimentos. Debe su nombre al matemático y estadístico americano George Waddel Snedecor (1881-1974).

FUNCIÓN DE DENSIDAD Y REPRESENTACIÓN GRÁFICA:

La función de densidad de una F se obtiene a partir de la función de densidad conjunta de U y V, y tiene la siguiente expresión.

[pic 11]

De donde:

El espacio paramétrico: grados de libertad del numerador m y grados de libertad del denominador n ambos enteros positivos.

Para todo valor de x>0. Es evidente, por su construcción, que solo puede tomar valores positivos, como la chi-cuadrado. La forma de la representación gráfica depende de los valores m y n, de tal forma que si m y n tienden a infinitos, dicha distribución se asemeja a la distribución normal.

[pic 12]

FUNCIÓN DE DENSIDAD ACUMULADA:

La función de densidad acumulada nos dará como resultado a la distribución acumulada F de Snedecor, la tendremos que calcular mediante la expresión general:

[pic 13]

Que dada la forma de la función de densidad se hace muy poco manejable por lo cual tendremos que recurrir de nuevo al uso de las tablas de F de Snedecor.

MEDIA O VALOR ESPERADO DE LA F DE SNEDECOR:

La media existe si "n" es mayor o igual que 3, y su valor se calcula:

[pic 14]

VARIANZA O VALOR DIFEENCIAL DE LA F DE SNEDECOR:

La varianza existe si "n" es mayor o igual que 5 y su valor se calcula:

[pic 15]

INVERSION DE LA F DE SNEDECOR

Una propiedad de esta distribución es que la inversa de una variable aleatoria con distribución F(m,n) sigue también una distribución F con n y m grados de libertad. Es decir:

Si para los valores de α => para 1-α, [pic 16][pic 17][pic 18]

Esto nos sirve para poder hallar los otros valores que necesitaremos comparar con las tablas de F de Snedecor.

IV. FUNDAMENTO PRÁCTICO

- ¿Cuál es la probabilidad de que una variable X, que se distribuye según la F de Snedecor con 10 grados de libertar y 12 en el numerador y denominador respectivamente tome un valor menor o igual a 2.188?

SOLUCIÓN:

Si nos vamos a las tablas deberías hacer una interpolación lineal, así:

Sea P(x)= mx+b

0.90= m(2.19) + b (-1)

0.95= m(2.75) + b (1 )

Resolviendo el sistema de ecuaciones simultáneas, tendremos:

0.05= 0.56m

m=0.0893

Reemplazando en cualquiera de las ecuaciones, b= 0.7044

Luego, como: P (2.188)= 0.0893 (2.188)+0.7044=0.899 ≈ 0.9

[pic 19]

- Una variable X se distribuye según una F de Snedecor de 7 grados de libertar en el numerador y 20 en el denominador, cuál será el valor del percentil 10.

SOLUCIÓN:

Es decir nos están preguntando cual es valor tabulado en la tabla de F de snedecor para el 10% para 7 y 10 grados de libertad respectivamente, como en la tabla no aparecen los valores del 10% utilizaremos su valor inverso con la propiedad que vimos en la teoría:

Osea: 1-10%=90%=0.9

Utilizando las tablas de F de Snedecor para el 90%, tendremos:

[pic 20]

[pic 21]

- Hallar el valor esperado y la varianza de dos tipos de semillas en etapa de germinación, si se obtiene una muestra de 6 y 9 semillas respectivamente las cuales siguen una distribución de F de Snedecor.

SOLUCIÓN:

Si los valores de entrada, serian m=6 y n=9, entonces:

Para hallar su valor esperado de germinación:

[pic 22]

Y para su varianza, haremos:

[pic 23]

- Las tablas nos dan, para m = 10 y n = 6, el percentil 90 =2,94; el percentil 95 = 4,06. Calcular los valores de la distribución F de 6 y 10 grados de libertad que dejan a su izquierda una masa de probabilidad de 0.1 y 0.05 respectivamente.

SOLUCIÓN:

Acá también utilizaremos la propiedad del inverso de la F de Snedecor, para hallar os valores que nos están pidiendo, así:

Por dato:

[pic 24]

Aplicando la propiedad del inverso de la Distribución de F de Snedecor:

[pic 25]

Luego reemplazando nuevamente, tendremos:

[pic 26]

- En un laboratorio de Zootecnia se efectuaron ciertas mediciones a dos tipos de ganado caprino y se comprobó que seguían una distribución F con 10 grados de libertad en el numerador y 12 grados de libertad en el denominador. Calcule el valor que deja a la derecha el 5% del área bajo la curva de densidad.

SOLUCIÓN:

Nos están pidiendo P(x≥X)=0.05, y esto es igual 1-P(x≤X)=1-0.05, por lo tanto:

P(x≤X)=0.95

Como el valor pedido ésta dentro de los valores que se encuentran