Problemas Guía examen Final.

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L = (g/4 π²)T² = (9.80 m/s²/4 π²)(1.00s)² = 0.248 m

b) , T = 2π√ (0.248m /1.67 m/s²) = 2.42 s

Ejemplo 7.- Una hendidura en un tanque de agua tiene un área de sección transversal de 1cm² ¿Con que velocidad se sale el agua del tanque. Si el nivel del agua es este es de 4m sobre la abertura, y determina su gasto (flujo de líquido).

Aplicaciones de la ecuación de Bernoulli

La ecuación de Bernoulli encuentra aplicación en casi todos los aspectos del flujo de fluidos. La presión P debe reconocerse como la presión absoluta (presión manométrica + presión atmosférica) y no la presión manométrica. Recuerde que ρ es la densidad y no el peso específico del fluido. Observe que las unidades de cada término de la ecuación de Bernoulli son unidades de presión (N/m³).

En gran número de situaciones físicas, la velocidad, la altura o la presión de un fluido son constantes. En tales casos la ecuación de Bernoulli adquiere una forma simple. Por ejemplo, cuando un líquido es estacionario, tanto v1 como v2, valen cero. La ecuación de Bernoulli nos mostrará que la diferencia de presiones es

P2 – P1 = ρ g (h1 – h2)

Otro resultado importante se presenta cuando no hay cambio en la presión (P1= P2). Como nos muestra el problema 1; un líquido sale de un orificio situado cerca del fondo de un tanque abierto, su velocidad cuando sale de un orificio puede determinarse a partir de la ecuación Bernoulli.

Debemos suponer que el nivel del líquido en el tanque desciende lentamente en comparación con la velocidad de salida, de tal modo que la velocidad v2 en la parte superior puede considerarse cero. Además debe tomarse en cuenta que la presión del líquido tanto en la parte superior como en el orificio es igual a la presión atmosférica (Po).

Entonces P1 = P2 y v2 = 0

, lo que reduce la ecuación de Bernoulli a

O bien

Esta relación se conoce como teorema de Toricelli:

Con esta fórmula obtenemos la velocidad

V = √(2gh) = √(2 (9.81m/s²)(4m) = √78.48 = 8.85 m/s

Y para el gasto (volumen por unidad de tiempo) se puede calcular

Gasto = velocidad X sección transversal

R = va = (8.85 m/s)(0.0001m²) = 0.000885 m³/s

Ejemplo 8.- Un corcho tiene un volumen de 4 cm³ y una densidad de 207 kg/m³ (a) Que volumen del corcho se encuentra bajo la superficie cuando el corcho flota en el agua? (b) Que fuerza hacia abajo es necesaria para sumergir el corcho por completo?

Solución.-Problema 2. Independiente del problema si yo quiero calcular el peso (W) del corcho antes de sumergirlo en el agua, tenemos la fórmula:

W = mg pero como nuestros problema no nos da ninguno de estos datos, a excepción de la gravedad que es 9.81 m/s², sustituimos la masa por la siguiente relación:

m = ρV (masa = densidad del corcho X el volumen del corcho)

Dándonos la fórmula para calcular el peso de esta manera: W = ρ V g

Dándonos que el peso del corcho (W) es igual ala densidad del corcho (ρ) X el volumen del corcho (V) X la gravedad.

Recordemos que la densidad es una característica relación masa- volumen del material que estemos usando, y que en fluidos incomprensibles es constante (todos los casos vistos en los dos temas), y la podemos obtener en tablas (ver en la tabla), o inclusive se nos da como dato en los problemas.

Por lo que ahora, si nos va a ser posible obtener el peso del corcho, dado que nos dan como datos la densidad del corcho y su volumen (que hay que convertirlo a m³).

Wcorcho = ρgV = (ρcorcho)(g)(Vcorcho) = (207 kg/m³)(9.8 m/s²)(4 x m³)

Wcorcho = 8.11 x N

Ahora tomamos el corcho y lo sumergimos en agua, nosotros por experiencia sabemos que el corcho se hunde y vuelve a subir, hasta quedar flotando en el agua (esta en equilibrio, sin movimiento hacia arriba o hacia abajo). Esto es debido a la diferencia de densidades como ya lo habíamos visto en clase:

a > densidad del objeto sumergido (mas pesado), que la densidad del fluido donde se sumerge se hundirá

a < densidad del objeto sumergido (menos pesado), que la densidad del fluido donde se sumerge flotará.

Ρcorcho = 207 kg/m³

Ρagua = 1000 kg/m³

Por lo que podemos ver la densidad del corcho es menor que la densidad del agua por lo que va a tender a flotar.

Por otra parte podemos ver, que lógicamente hay una fuerza (que esta relacionada con estas densidades) que esta equilibrando ese peso que obtuvimos del corcho, que de otra manera se hundiría, por lo que tenemos:

Haciendo una sumatoria de fuerzas en Y tenemos:

ΣFy = 0 (porque esta en equilibrio)

Fempuje – Wcorcho = 0

Fempuje = Wcorcho

Del Principio de Arquímedes tenemos:

Un objeto que se encuentra parcial o totalmente sumergido en un fluido experimenta una fuerza ascendente (empuje) igual al peso del fluido desalojado.

Por lo que tenemos:

F empuje = W agua desalojada = mg = (ρ agua) (V desalojado)g

Dándonos que el peso del agua desalojada (W) es igual ala densidad del agua (ρ) X el volumen desalojado (V) X la gravedad.

Y aquí es donde nos encontramos la variable que nos piden en el inciso (a) :

El volumen del corcho que se encuentra bajo la superficie es igual al volumen del agua desalojada, en otras palabras el volumen que se ocupo por el corcho es el volumen que desalojo el agua (ver figura del problema). Por lo que tenemos:

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