Método de Cardano.

...

[pic 85].

Caso 2. Raíces reales de multiplicidad dos

Si [pic 86] y [pic 87], para [pic 88], se tiene para la ecuación [pic 89]tres raíces reales de las cuales dos de ellas son iguales entre sí, es decir, este es el único caso donde se presentan las raíces dobles. Esto es, que [pic 90]. Al restar a cada una de estas raíces la cantidad [pic 91]de acuerdo a la ecuación [pic 92]se obtienen tres raíces reales para la ecuación cúbica [pic 93], de las cuales dos de ellas serán iguales entre sí también [pic 94].

Ejemplo 2. Resuelva mediante el método de Cardano la siguiente ecuación cubica:

[pic 95]

Solución. Es una ecuación ya normalizada, por lo que al compararla con la ecuación [pic 96]podemos definir que [pic 97], con los cuales podemos calcular los valores de [pic 98]y [pic 99]mediante las ecuaciones [pic 100]y [pic 101]como sigue:

[pic 102]

[pic 103]

con estos valores podemos calcular el discriminante [pic 104]a partir de la ecuación [pic 105]como

[pic 106]

puesto que [pic 107], entonces obtendremos tres raíces reales de las cuales dos de ellas serán exactamente iguales entre si. Calculamos los valores de [pic 108]y [pic 109]de las ecuaciones [pic 110]y [pic 111]para dar

[pic 112]

así, las raíces de la ecuación [pic 113]serán[pic 114]

[pic 115]

[pic 116]

de este modo, las raíces pedidas son obtenidas mediante la ecuación [pic 117]como

[pic 118]

Caso 3. Raíces reales de multiplicidad tres

Existe el caso en que se pueden obtener tres raíces reales de multiplicidad tres que ocurre si y sólo si se cumple la condición de que [pic 119], lo que implica necesariamente de ecuerdo a la ecuación [pic 120]que [pic 121], lo que también implica necesarimente según las ecuaciones [pic 122]y [pic 123]que [pic 124], lo que a su vez implica necesariamente según las ecuaciones [pic 125]a [pic 126]que [pic 127], de aquí que al regresar a la transformación de Tschirnhaus dada por la ecuación [pic 128]vemos que las tres raíces son reales y múltiples de multiplicidad tres y que valen

[pic 129]

esto es, que la ecuación [pic 130]se puede poner como

[pic 131]

es decir, que puede expresarse como un binomio elevado al cubo.

Caso 4. Tres raíces reales y distintas entre sí

Si [pic 132] y [pic 133], para cualquier valor y signo de q, pero donde necesariamente [pic 134], se tiene para la ecuación [pic 135]tres raíces reales [pic 136], que son distintas entre sí, las cuales se calculan como

[pic 137]

donde [pic 138]se define como

[pic 139]

de donde vemos que el símbolo [pic 140]que precede al valor constante 2 en la expresión [pic 141]se usará como sigue: el signo positivo se usará cuando [pic 142]y el signo negativo se usará cuando [pic 143].

Ejemplo: Resolver la ecuación [pic 144]

Normalizando la ecuación se tiene que [pic 145] donde [pic 146]

En este caso se tiene que:

[pic 147]

[pic 148]

Luego [pic 149]

Entonces, como lo afirma el caso 4, para D

[pic 150] con k=0,1,2

[pic 151]

Calculando

[pic 152]

Entonces las raíces son:

[pic 153]

[pic 154]

[pic 155]

Raíces de la ecuación completa

Si es posible obtener con las ecuaciones [pic 156]a [pic 157]precedentes las tres raíces de [pic 158]se regresa a la transformación de Tschirnhaus dada por la ecuación [pic 159]y se obtienen las tres raíces de la ecuación [pic 160], como sigue

[pic 161]

o si las raíces de [pic 162]están dadas por las ecuaciones [pic 163]y [pic 164]se debe usar [pic 165]en la ecuación [pic