¿De qué manera el álgebra booleana establece las bases para diseñar la comunicación interna de una computadora?

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5. Para cada elemento de x pertenencia a B existe un elemento x’ complemento perteneciente a B denominado complemento de x tal que:

a) x+x’ = 1

b) x’ = 0

6. Existen cuando menos dos elementos x,y pertenecientes a B tal que x diferente de y. Por lo tanto tenemos que el álgebra de Boole difiere de la aritmética y del álgebra ordinaria:

a) Los postulados Huntington: no incluyen al ley asociativa, no obstante esta ley es valida para el álgebra booleana (para ambos operadores)

b) La ley distributiva del operador (+) sobre el operador (.) esto es: x+(y.z) = (x+y).(x+z), la cual es válida para el álgebra de Boole pero no para el álgebra ordinaria.

c) El álgebra booleana no tiene inversa aditiva a multiplicativa, por lo tanto no hay operaciones de sustracciones o división.

d) El postulado 5 define un operador llamado completo que no se encuentra en el álgebra ordinaria.

e) En el álgebra de Boole se define un conjunto B de dos elementos (0 y 1) y el álgebra ordinaria trata con el conjunto de los números reales.

Postulado 2 a) x + 0 = x b) x . 1 = x

Postulado 5 a) x + x’ = 1 b) x . x’ = 0

Teorema 1 a) x + x = x b) x . x = x

Teorema 2 a) x + 1 = 1 b) x . 0 = 0

Teorema 3 involución (x’)’ = x

Teorema 3 conmutativo a) x + y = y + x b) xy = yx

Teorema 4 asociativo a) x + (y + z) = (x + y) +z b) x (yz) = (xy) z

Postulado 4 distributivo a) x (y + z) = xy +xz b) x + yz = (x + y)(x+z)

Teorema 5 morgan a) ( x + y)’ = x’ y’ b) (xy) = x’ + y’

Teorema 6 absorción a) x + xy = x b) x (x + y) = x

Ejemplos:

x + x = x x + xy = x

x + x = (x + x) . 1 x . 1 + xy = x

x + x = (x + x) (x + x’) x (1 + y) = x

x + x = x + xx’ x (y + 1) = x

x + x = x + 0 x (1) = x

x + x = x x = x [pic 4]

Las variables booleanas pueden tomar varios valores de 1 ó 0.

Una función booleana es una expresión formada por variables binarias.

Ejemplo:

F1 = xyz’

Para F1 considerar que es igual a 1 si:

x = 1; y = 1 ; z’ = 1; de otra manera F1 = 0.

Por lo tanto tendremos que una función booleana también puede representarse en una tabla de verdad. Para representar una función booleana en una tabla de verdad se necesita una lista de 2n combinaciones de 1 y 0 de las n variables binarias, y una columna que muestra combinaciones para las cuales f es igual a 1 ó 0.

x y z F1 F2 F3 F4

0 0 0 0 0 1 0

0 0 1 0 1 0 0

0 1 0 1 0 0 0

0 1 1 1 1 1 1

1 0 0 1 0 0 1

1 0 1 0 0 1 1

1 1 0 1 1 1 1

1 1 1 0 1 0 1 [pic 5]

F1 = x’yz’ + x’yz + xy’z + xyz’ = x’y (z+z’) + xz’ (y+y’) = x’y + xz’

F2 = x’y’z + x’yz + xyz’ + xyz = x’z (y+y’) + xy (z+z’) = x’z + xy

F3 = x’y’z’ + x’yz + xy’z + xyz’

F4 = x’y’z + xy’z’ + xy’z + xyz’ + xyz

= xy’ (z+z’) + xy (z+z’) + x’yz

= xy’ + xy + x’yz

= x (y+y’) + x’yz

= x + x’yz

Funciones Lógicas.

Los circuitos básicos de compuertas toman tres decisiones lógicas (AND, OR, NOT)

El propósito de los tres tipos de compuertas lógicas es el de usar bits o información digital para tomar decisiones muy simples. Sin embargo, cuando se conectan juntas muchas de estas compuertas en diferentes modos, pueden trabajar muy rápido y tomar decisiones muy complejas. De manera que los trabajos que realizan los circuitos digitales son llevados a cabo, a última instancia por circuitos de compuertas.

Cada tipo de compuerta hace un tipo simple de decisión, llamada función lógica. Lógica significa el uso de reglas para razonar correctamente, por ejemplo:

"Si Juan es más alto que María y María es más alta que Tomás, entonces Juan es más alto que Tomás".

Las tres decisiones lógicas básicas que hacen las compuertas, son las llamadas función AND, función OR y función NOT.

En la figura se muestran los símbolos de una compuerta AND, una OR y una NOT, las que realizan las respectivas funciones lógicas (observe que los nombres están escritos a propósito con letras mayúsculas). Siendo precisos, el circuito que hace la función NOT, no es realmente una compuerta y en su lugar generalmente se le llama un inversor. Lo incluimos porque su función es muy importante y básica.

[pic 6][pic 7][pic 8]

[pic 9]

Manipulación algebraica

Cuando una función se incrementa con compuertas lógicas, cada literal en la función denota una entrada a una compuerta.

1. Cada literal denota la entrada a una compuerta.

2. Cada termino se implanta con una compuerta.

En la manipulación algebraica no hay reglas específicas a seguir a que garanticen la respuesta final.

Ejemplo: Reducir las siguientes