Dinámica (Vibraciones Amortiguada y No Amortiguada)
Enviado por Antonio • 17 de Septiembre de 2018 • 3.744 Palabras (15 Páginas) • 239 Visitas
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Cuando las ecuaciones anteriores se sustituyen en la ecuación la ecuación diferencial se satisface lo que demuestra que la ecuación si es la solución de .[pic 26][pic 27][pic 28]
La constante de integración en la ecuación en general se determina a partir de las condiciones iniciales del problema. Por ejemplo, suponga que el bloque de la Ilustración 1(a) se ha desplazado a una distancia a la derecha de su posición de equilibrio y que eso le imprime una velocidad inicial (positiva) dirigida a la derecha. Al sustituir cuando en la ecuación se obtiene . Y como cuando , utilizando la ecuación obtenemos Si estos valores se sustituyen en la ecuación , la ecuación que describe el movimiento se hace:[pic 29][pic 30][pic 31][pic 32][pic 33][pic 34][pic 35][pic 36][pic 37][pic 38][pic 39][pic 40]
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La ecuación también puede expresarse en función de un movimiento senoidal simple. Para demostrar esto, sea: y . [pic 42][pic 43][pic 44]
Donde y son constantes nuevas que se determinaran en lugar de y al sustituir en la ecuación obtenemos: [pic 45][pic 46][pic 47][pic 48][pic 49]
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Y como , entonces:[pic 51]
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Si esta ecuación se traza sobre un eje , se obtiene la gráfica que se muestra en la Ilustración 3. [pic 55][pic 53][pic 54]
El desplazamiento máximo del bloque a partir de su posición de equilibrio se define como la amplitud de vibración. De acuerdo con la ilustración de la ecuación la amplitud es . El ángulo se llama ángulo de fase, puesto que representa la cantidad que la curva esta desplazada del origen cuando . Podemos relacionar dos contantes con A y B por medio de las ecuaciones y . Al elevar al cuadrado y sumar estas dos ecuaciones, la amplitud es:[pic 62][pic 56][pic 57][pic 58][pic 59][pic 60][pic 61]
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Si la ecuación se divide entre la ecuación el ángulo de fase es por tanto:[pic 64][pic 65]
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Observe que la curva seno, ecuación , completa un ciclo en el tiempo (tau) cuando , o:[pic 67][pic 68][pic 69]
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Este intervalo se llama periodo, Ilustración 3. Con la ecuación . El periodo también puede representarse como:[pic 71]
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Por último, la frecuencia se define como el número de ciclos completados por unidad del tiempo, lo cual es reciproco del periodo; es decir: [pic 73]
o [pic 74][pic 75]
La frecuencia se expresa en . Esta relación de unidades se llama hertz (), donde .[pic 76][pic 77][pic 78]
Cuando un cuerpo o sistema de cuerpos conectados experimenta un desplazamiento inicial a partir de su posición de equilibrio y se deja libre, vibrara con una frecuencia natural, . Siempre que el sistema tenga un grado de libertad, es decir que se requiera solo una coordenada para especificar por completo la posición del sistema en cualquier momento, entonces el movimiento vibratorio tendrá las mismas características que el movimiento armónico simple del bloque y resorte que se acaban de representar. En consecuencia esta ecuación diferencial de la misma ‘’forma estándar’’ que la ecuación describe el movimiento, es decir que por consiguiente, si se conoce la frecuencia natural y otras características de vibración puede establecerse con las ecuaciones:[pic 79][pic 80][pic 81]
⟶ [pic 82][pic 83]
- Vibración forzada no amortiguada.
Se considera que la vibración forzada no amortiguada es uno de los tipos más importantes de movimiento vibratorio en el campo de la ingeniería. Sus principios pueden utilizarse para describir el movimiento de muchos tipos de máquinas y estructuras.
Fuerza Periódica.
El bloque y resorte que se muestra en la Ilustración 4, constituyen a un modelo conveniente para representar las características vibratorias de un sistema sometido a una fuerza periódica . Esta fuerza tiene una amplitud de y una frecuencia forzada . El diagrama de cuerpo libre del bloque desplazado una distancia se muestra en la Ilustración 4(b). [pic 84][pic 85][pic 86][pic 87]
[pic 88]
Ilustración 4
Al aplicar la ecuación de movimiento, tenemos:
; o bien [pic 89][pic 90][pic 91]
En esta ecuación es una ecuación diferencial de segundo grado no homogénea. La solución general consta de una solución complementaria, , más una solución particular, .[pic 92][pic 93]
La solución complementaria determina al establecer al término del lado derecho de la ecuación igual a cero y resolver la ecuación homogénea resultante. La ecuación define la solución. Donde es la frecuencia natural, . Como el movimiento es periódico, la solución particular de la ecuación puede determinarse si se supone una solución de la forma:[pic 94][pic 95][pic 96][pic 97][pic 98]
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Donde es una constante. Si calculamos la segunda derivada con respecto al tiempo y sustituimos en la ecuación obtenemos:[pic 100][pic 101]
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Al factorizar y resolver para obtenemos:[pic 103][pic 104]
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Sustituimos en la ecuación y obtenemos la solución particular.[pic 106]
[pic 107]
La solución general es, por consiguiente, la suma de dos funciones seno de frecuencias diferentes.
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La solución complementaria define la vibración libre, la cual depende de la frecuencia natural y las constantes y . La solución particular describe la vibración forzada del bloque provocada por la fuerza aplicada . Como
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