EL TEOREMA ESPECTRAL. ORIGENES Y EVOLUCION.

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Teorema. Sea T : Cn → Cn nna aplicacion lineal sim‘etrica. Entonces:

i) Todos los antovalores de T son reales.

ii) Antovectores correspondientes a antovalores distintos son ortogonales. iii) Existe nna base de Cn formada por antovectores ortogonales dos a dos. Esto proporcioia el teorema de los ejes priicipales ei el leiguaje de matri-

ces.

1858 ... Cayley ... Si A es nna matriz sim‘etrica real, existe nna matriz ortogonal P tal qne D = P −1AP tiene forma diagonal; los elementos de D son los antovalores de A.

1904 ... Hilbert ... Sean λ1 ≤ · · · ≤ λn los antovalores de nna matriz sim‘etrica K , y {Φ1, . . . , Φn } nn sistema ortonormal de vectores propios asociados. La accion de K con respecto a dicha base se representa por la matriz diagonal L = diag(λ1, . . . , λn ). La matriz T cnyas filas son los vectores Φ1, . . . , Φn es nna transformacion ortogonal qne aplica la

base {Φ1 , . . . , Φn } en la base canonica, L = T −1K T . La matriz L

pnede escribirse como L = fn[pic 5]

el snbespacio generado por Φi .

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λi Pi , donde Pi es la proyeccion sobre

Veamos como puede expoierse ei forma geom´etrica el aialisis sobre la es- tructura de la aplicacioi T .

Supoiemos que T es uia aplicacioi liieal sim´etrica ei Cn , dotado de uia estructura liieal. Defiiimos el coicepto de autoespacio como el subespacio geierado por el coijuito de autovectores asociados a ui mismo autovalor. Debido a que dos autoespacios distiitos soi ortogoiales, cabe defiiir la iocioi de complemento ortogonal de ui coijuito M como el coijuito M ⊥ de vectores ortogoiales a todos los elemeitos de M .

Las siguieites propiedades expresai caracter´ısticas u´tiles de las traisforma- cioies sim´etricas:

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Si M? es el antoespacio asociado al antovalor A, entonces M I es inva-[pic 6]

riante bajo T .

Esto sugiere que la estructura de T vieie deteriiiada por su coipor- taiieito sobre M? y M I.[pic 7]

Siempre existe algn‘n antovalor A (por ser el espacio coiplejo).

Si dii M? = r y dii M I = s, entonces s [pic 8]

Todo elemento x ∈ Cn pnede descomponerse como x = y + z, con y ∈ M? ,

z ∈ M I (y la descoiposici´oi es u´iica).[pic 9]

Debido a la descoiposicioi aiterior, T x = T y + T z, de la que sabeios

T y = Ay; basta calcular T z, el cual sabeios que est´a ei M I.[pic 10]

Heios reducido pues el probleia a ui espacio s-diieisioial, coi s

i.

- Si s = 0 teriiia aqu´ı.

- Si s > 0, buscaios ui autovalor µ de la restriccioi T |M ⊥ y coitiiuaios[pic 11]

coio aites.

Coio la diieisi´oi del espacio es fiiita, el proceso teriiia ei ui iu´iero fiiito de pasos.

Recapitulaido lo aiterior, llegaios al teoreia espectral ei diieisi´oi fiiita, que eiuiciaios as´ı:

Teorema. Sea T : Cn → Cn nna aplicacion lineal sim‘etrica. Existe entonces nn nn‘mero finito de nn‘meros reales distintos A1, . . . , Ak y de snbespacios cerrados M1, . . . , Mk no triviales tales qne:

i) T |Mi = Ai I , i = 1, . . . , k (Mi es el antoespacio asociado a Ai ). ii) Mi ⊥Mj , ∀i = j.

iii) ∀x ∈ Cn , ∃xi ∈ Mi : x = x1 + · · · + xk (descomposicion n‘nica).

El teoreia puede iiterpretarse dicieido que todo operador sii´etrico es suia de operadores eleieitales T = T1 + · · · + Tk , coi Ti = Ai I . El rec´ıproco establece que todo operador de la foria aiterior es sii´etrico.

Observaciones. 1) Es claro que Mi io estai geierados por los ejes prii- cipales ei = (δ1i , . . . , δni ). Sii eibargo sieipre es posible elegir uia base ortogoial de iodo que cada Mi est´e geierado por algu´i subcoijuito de dicha base.

2) A pesar de la grai iiportaicia del teoreia espectral aiterior ei iulti- tud de aplicacioies, el verdadero desarrollo de las ideas arriba esbozadas io se coisigue hasta que se coisiderai espacios de diieisioi iifiiita. La axio- iatizaci´oi y discusioi de estos espacios es la que periite ui trataiieito

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uiificado de eleieitos de aialisis, geoietr´ıa y iateiatica aplicada: espa- cios de fuicioies, ecuacioies difereiciales e iitegrales, teor´ıa de operadores, series de Fourier abstractas, geoietr´ıa de subespacios, topolog´ıa d´ebil, fuerte y uiiforie, teor´ıa de espectros, iec´aiica cuaitica y iuchos otros.

2.- EVOLUCIO´ N A ESPACIOS INFINITO-DIMENSIONALES.

Dos soi las l´ıieas fuidaieitales de evolucioi de la teor´ıa al caso de espa- cios de diieisioi iifiiita: los sisteias iifiiitos de ecuacioies liieales y las ecuacioies iitegrales.

A. Sistemas infinitos de ecuaciones lineales.

Los sisteias fiiitos de ecuacioies liieales se resolv´ıai a ieiudo por el i´eto- do de eliiiiacioi de variables. Ei los siglos XVIII y XIX se resolv´ıai siste- ias iifiiitos de ecuacioies para obteier solucioies foriales de ecuacioies difereiciales, por el i´etodo de coeficieites iideteriiiados. Los avaices ias sigiificativos ei esta l´ıiea fueroi los siguieites:

1822 ... Fourier ... quiso probar que toda fuicioi puede expresarse coio coibiiaci´oi liieal iifiiita de t´eriiios trigoioi´etricos. Esto le llevaba a resolver ui sisteia iifiiito de ecuacioies liieales, por ui proceso de l´ıiite.

1870 ... Kotteritzsch ... iiteit´o exteider la regla de Craier a sisteias