Ejemplo de Suponga que cinco masas puntuales ( esto es teórico en realidad ) están situadas sobre una recta
Enviado por Ledesma • 18 de Diciembre de 2018 • 1.036 Palabras (5 Páginas) • 426 Visitas
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[pic 72][pic 73]
Como siempre es mejor tratar de manejar el concepto que usar las ``fórmulas'' porque así se puede adaptar a otro tipo de situación por ejemplo para cuando en la región la curva está dada en términos de [pic 74]así como el intervalo de integración.
La densidad termina simplificándose al ser uniforme y la expresión de cada denominador termina siendo el área de la región.
Ejemplo 3: Encontrar el centro de masa de la región limitada por un arco de la función [pic 75]y el eje [pic 76]
Tomando el arco para [pic 77]
[pic 78]
[pic 79]que es una respuesta lógica puesto que la recta [pic 80]es eje de simetría y que [pic 81]debe quedar más hacia [pic 82]que hacia [pic 83]por la forma de la gráfica
Ejemplo 4:Encontrar el centro de masa de la región limitada por la curva [pic 84]y el eje [pic 85].
[pic 86]
[pic 87]
[pic 88]que también es una respuesta lógica dado que [pic 89]es eje de simetría, que [pic 90]tiene que ser negativo y por la forma de la gráfica más hacia 0 que hacia el vértice que queda en [pic 91]
CENTRO DE MASA DE UNA REGIÓN PLANA COMPRENDIDA ENTRE DOS CURVAS.
Basado en el mismo proceso que se hizo para la región plana limitada por una sola curva , usando centro de masa de un iésimo rectángulo y siendo [pic 92]para todo [pic 93]se deduce
[pic 94]
[pic 95]
[pic 96]
Lo cúal conlleva a las integrales
[pic 97][pic 98]
habiendo simplificado [pic 99]
Ejemplo 5: Encontrar el centro de masa de la región limitada por las gráficas de [pic 100]y[pic 101]. Los puntos de intersección de las curvas son [pic 102]y [pic 103]
[pic 104]
[pic 105][pic 106]
Siendo la recta [pic 107]eje de simetría de la región parece razonable la respuesta
Ejemplo 6: Encontrar el centro de masa de la región limitada por la curva [pic 108]y la
recta [pic 109]
Los puntos de intersección de las dos gráficas se obtienen con [pic 110]
[pic 111]y [pic 112]los puntos son [pic 113]y [pic 114]
[pic 115]
[pic 116]
Los centros de masa obtenidos cuando la densidad es uniforme se llaman centroides
Ejemplo 7: Encontrar el centroide de la región plana de densidad compuesta del triángulo de vértices en los puntos [pic 117]y [pic 118]y por el cuadrado localizado inmediatamente debajo del triángulo
[pic 119]
1) Sin integración
Masa del triángulo [pic 120]
Como la región tiene un eje de simetría que es el eje [pic 121][pic 122]
Las medianas del triángulo( rectas que unen un vértice con el punto medio del lado opuesto ) son ejes de simetría y éstas se intersectan a [pic 123]de la distancia del lado correspondiente,en el punto que será el centroide del triángulo; por lo tanto éste estará en [pic 124]y como [pic 125]
Para el cuadrado: Masa [pic 126]
Centro de masa en [pic 127]
El momento total es la suma de los momentos: [pic 128][pic 129]
La masa total es la suma de las masas: [pic 130]
[pic 131]el centroide de la región plana queda entonces en [pic 132]
2) Utilizando integración:
Las ecuaciones de las rectas que conforman los lados del triángulo son [pic 133]si [pic 134]y [pic 135]si [pic 136]
Por simetría [pic 137]
Masa [pic 138][pic 139]( se multiplica por dos por simetría de la región)
[pic 140]
[pic
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