GUIA DE EJERCICIOS No 4. Serie de Potencias
Enviado por Ensa05 • 25 de Noviembre de 2018 • 995 Palabras (4 Páginas) • 395 Visitas
...
Aplicando la formula correspondiente de MacLaurin, la serie que representa a la fun-cion dada queda,
2x
2
4 2
8
3
2n
e
= 1 +
x +
x +
x
+ +
+ =
1!
2!
3!
n!
Ejemplo:
Obtener el desarrollo de f(x) = sen (x) en potencias de x .
---------------------------------------------------------------
- 2n
X
n=1 n! xn
[pic 18]
Solucion:
Procediendo en la misma forma del problema anterior se tiene
f(x)
= sen (x)
) f(0)
= 0
f 0(x)
= cos (x)
) f 0(0)
= 1
f 00(x)
=
sen (x)
) f 00(0)
= 0
f 000(x)
=
cos (x)
) f 000(0)
= 1
fiv(x)
= sen (x)
) fiv(0)
= 0
fv(x)
= cos (x)
) fv(0)
= 1
fvi(x)
=
sen (x)
) fvi(0)
= 0
fvii(x)
=
cos (x)
) fvii(0)
= 1
.
.
.
.
.
.
Notar que a partir de la cuarta derivada se comienza a repetir los valores obtenidos, por tanto se obtiene,
sen (x) = 0 + 1 x + 2!0x2 + 3!1x3 + 4!0x4 + 5!1x5 +
[pic 19][pic 20][pic 21][pic 22]
Reduciendo
sen (x) = x
x3
+
x5
x7
+
+
( 1)n 1x2n 1
3!
5!
7!
(2n
1)!
[pic 23]
---------------------------------------------------------------
1 ( 1)n 1x2n 1
X
+ =
[pic 24]
(2n 1)!
n=1
Ejercicios resueltos
[pic 25]
Coordinacion Calculo Integral
---------------------------------------------------------------
[pic 26][pic 27]
UNIVERSIDAD TECNOLOGICA METROPOLITANA
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA
[pic 28]
- Desarrollar en serie de potencias de x la funcion f(x) = ex2 Solucion
Notar que las derivadas de orden superior de la funcion dada comienzan a compli-carse puesto que a partir de la segunda derivada comienza a aparecer la derivada de
un producto, lo que di culta la obtencion del desarrolo en serie de potencias.
Para simpli car el ejercicio se desarrollar la funcion f(u) = eu , de esta forma se
obtiene,
f(u)
=
eu
) f(0)
= 1
f 0(u)
=
eu
) f 0(0)
= 1
f 00(u)
=
eu
)
...