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GUIA DE EJERCICIOS No 4. Serie de Potencias

Enviado por   •  25 de Noviembre de 2018  •  995 Palabras (4 Páginas)  •  453 Visitas

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...

Aplicando la formula correspondiente de MacLaurin, la serie que representa a la fun-cion dada queda,

2x

2

4 2

8

3

2n

e

= 1 +

x +

x +

x

+ +

+ =

1!

2!

3!

n!

Ejemplo:

Obtener el desarrollo de f(x) = sen (x) en potencias de x .

---------------------------------------------------------------

- 2n

X

n=1 n! xn

[pic 18]

Solucion:

Procediendo en la misma forma del problema anterior se tiene

f(x)

= sen (x)

) f(0)

= 0

f 0(x)

= cos (x)

) f 0(0)

= 1

f 00(x)

=

sen (x)

) f 00(0)

= 0

f 000(x)

=

cos (x)

) f 000(0)

= 1

fiv(x)

= sen (x)

) fiv(0)

= 0

fv(x)

= cos (x)

) fv(0)

= 1

fvi(x)

=

sen (x)

) fvi(0)

= 0

fvii(x)

=

cos (x)

) fvii(0)

= 1

.

.

.

.

.

.

Notar que a partir de la cuarta derivada se comienza a repetir los valores obtenidos, por tanto se obtiene,

sen (x) = 0 + 1 x + 2!0x2 + 3!1x3 + 4!0x4 + 5!1x5 +

[pic 19][pic 20][pic 21][pic 22]

Reduciendo

sen (x) = x

x3

+

x5

x7

+

+

( 1)n 1x2n 1

3!

5!

7!

(2n

1)!

[pic 23]

---------------------------------------------------------------

1 ( 1)n 1x2n 1

X

+ =

[pic 24]

(2n 1)!

n=1

Ejercicios resueltos

[pic 25]

Coordinacion Calculo Integral

---------------------------------------------------------------

[pic 26][pic 27]

UNIVERSIDAD TECNOLOGICA METROPOLITANA

DEPARTAMENTO DE MATEMATICA

[pic 28]

- Desarrollar en serie de potencias de x la funcion f(x) = ex2 Solucion

Notar que las derivadas de orden superior de la funcion dada comienzan a compli-carse puesto que a partir de la segunda derivada comienza a aparecer la derivada de

un producto, lo que di culta la obtencion del desarrolo en serie de potencias.

Para simpli car el ejercicio se desarrollar la funcion f(u) = eu , de esta forma se

obtiene,

f(u)

=

eu

) f(0)

= 1

f 0(u)

=

eu

) f 0(0)

= 1

f 00(u)

=

eu

)

...

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