Probabilidades Guía de Ejercicios Carlos Pacheco

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4.- DISTRIBUTIVAS:

a) A υ (B ⋂ C)=(A υ B) ⋂ (A υ B) b) A ⋂ (B υ C) = (A ⋂ B) υ (A ⋂ C)

5.-IDENTIDAD:

a) A υ Ø = A b) A υ U = U

c) A ⋂ U = A d) A ⋂ Ø = Ø

6.-COMPLEMENTO:

a) A υ A C = U b) (A C) C = A

c) A ⋂ A C = Ø d) U C = Ø

LEYES DE DE MORGAN

a) (A υ B) C = A C ⋂ B C b) (A ⋂ B) C = A C υ B C

Un conjunto se dice FINITO si es vacío ó consta de n elementos.

Un conjunto se dice CONTABLE si es finito ó si sus elementos se pueden ordenar en una sucesión; en caso de ser infinito y se puede ordenar en una sucesión se dice CONTABLEMENTE INFINITO.

RECUERDE: Una sucesión es una función cuyo dominio son los naturales, es decir ƒ: N R sus elementos se denotan por an donde el subíndice n indica la posición del elemento en la sucesión.[pic 5]

Se define el CONJUNTO PRODUCTO como el conjunto de todos los pares ordenados de elementos (a, b) donde la primera componente pertenece al primer conjunto y la segunda componente pertenece al segundo conjunto, en este caso A y B respectivamente.

A * B = {(a, b) / a ∈ A, b ∈ B}

Dos conjuntos A y B se dicen DISJUNTOS si A ⋂ B = Ø

Una PARTICIÓN de un conjunto A, es una subdivisión de A entre subconjuntos no vacíos que son disjuntos y cuya unión es A; es decir,

{A1, A2,..., An}es una partición de A si:

1) Ai ⋂ A j = Ø ∀ i≠j 2) U Ai ∈ A

Sea un conjunto Ω se dice que Ao es una SIGMA-ALGEBRA de conjuntos

( δ = ÁLGEBRA) si:

i) A ∈ Ao ⇒ A C ∈ Ao

ii) Si Ai ∈ Ao i = 1, 2,..., n ⇒ U Ai ∈ Ao

PROBABILIDAD

PROBABILIDAD es el estudio de experimentos aleatorios.

EXPERIMENTO proceso por medio del cual se obtiene una observación.

EVENTO cualquier resultado del experimento.

EVENTO SIMPLE evento que no se puede descomponer. A cada evento simple le corresponde uno y sólo un punto muestral.

ESPACIO MUESTRAL conjunto de todos los posibles “puntos muestrales” también se define como el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento.

PUNTO MUESTRAL resultado particular de un experimento.

Dos eventos A y B se llaman MUTUAMENTE EXCLUYENTES si son distintos, es decir, A ⋂ B = Ø

Un ESPACIO DISCRETO es un espacio muestral finito o numerablemente infinito de puntos muestrales.

Un evento definido en un espacio muestral discreto S es una colección de puntos muestrales, es decir, un subconjunto de S.

FRECUENCIA número de veces que aparece un resultado en un experimento.

FRECUENCIA RELATIVA frecuencia dividida por el número total de veces que se realizó el experimento.

EXPERIMENTO ALEATORIO es aquel en el que todo resultado tiene la misma “probabilidad” de salir.

DEFINICIÓN CLÁSICA DE PROBABILIDAD Ó PROBABILIDAD COMBINATORIA cociente entre número de resultados del experimento, favorables al experimento y el número de resultados posibles e igualmente “probables”.

DEFINICIÓN FRECUENCIAL DE PROBABILIDAD es la frecuencia relativa de un evento en n intentos repetidos de un experimento aleatorio cuando n tiende a infinito.

DEFINICIÓN SUBJETIVA DE PROBABILIDAD es el grado de confianza que una persona posee en la factibilidad de un evento.

Supóngase que un espacio muestral S está asociado con un experimento. Se define una FUNCIÓN DE PROBABILIDAD del espacio de eventos del experimento (un conjunto Ω y la δ-ÁLGEBRA de conjuntos deΩ) en el intervalo [0,1] tal que a cada evento A definido en S se le asigna un número P (A), denominado PROBABILIDAD de A, de tal manera que se cumplen los axiomas siguientes:

1.-P (A) ≥ 0

2.-P (S) = 1

3.-Si A1, A2, A3,…, An… forman una sucesión de eventos de S, que se excluyen mutuamente por parejas (disjuntos dos a dos), es decir,

Ai ⋂ A j = Ø ∀ i≠j con i = 1, 2… n… entonces:

P (A1 U A2 U...) = P (U Ai) = Σ P (Ai) = P (A1) + P (A2) +...

TEOREMA:

Sea Ø el conjunto vacío entonces P (Ø) = 0

TEOREMA:

P (A C) = 1 – P (A)

TEOREMA:

Si A ⊂ B entonces la P (A) ≤ P (B)

TEOREMA:

Si A y B son dos eventos entonces P (A-B) = P (A) – P (A ⋂ B)

TEOREMA:

Si A y B son dos eventos entonces P (A U B) = P (A) + P (B) - P (A ⋂ B)

COROLARIO: Sean A, B, C eventos entonces

P ( A U B U C ) = P ( A )+P ( B )+P ( C )- P (A ⋂ B)-P ( A ⋂ C )-P ( B ⋂ C) + P (A ⋂ B ⋂ C)

ESPACIOS MUESTRALES

FINITOS: Sea S un espacio muestral finito, S = {a1, a2,..., an} un espacio finito de probabilidad se obtiene al asignar a cada punto ai ∈ S un número real pi llamado probabilidad de ai que satisface las propiedades siguientes:

i) Cada pies no negativo, pi ≥ 0

ii) La suma de los pi es uno, p1 + p2 +...+