Guia de ejercicios de intervalos de confianza

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b) ¿Qué error máximo se comete con la estimación anterior?

Solución:

a) (106,71, 113,29)

b) E = 3,29.

- La altura de los jóvenes andaluces se distribuye según ley normal de media desconocida y varianza 25 cm2. Se ha una muestra aleatoria, y con una confianza del 95%, se ha construido un intervalo para la media poblacional cuya amplitud es 2,45 cm.

a) ¿Cuál ha sido el tamaño de la muestra seleccionada?

b) Determina el límite superior y el inferior del intervalo de confianza si la muestra tomada dio una altura media de 170 cm.

Solución:

a) n=64

b) Límite superior = 171,225, límite inferior = 168,775.

- Un estudio realizado sobre 100 usuarios revela que un automóvil recorre anualmente un promedio de 15200 km con una desviación típica de 2250 km.

- Determine un intervalo de confianza, al 99%, para la cantidad promedio de kilómetros recorridos.

- ¿Cuál debe ser el tamaño mínimo de la muestra para que el error cometido no sea superior a 500 km, con igual confianza?

Solución:

a) (14621, 15779)

b) n > 134.

- Se sabe que la estatura de los individuos de una población es una variable aleatoria que sigue una distribución normal con desviación típica 6 cm. Se toma una muestra aleatoria de 225 individuos y da una media de 176 cm.

- Obtenga un intervalo de confianza, con un 99% de confianza, para la media de la estatura de la población.

- Calcule el mínimo tamaño de muestra que se ha de tomar para estimar la estatura media de los individuos de la población con un error inferior a 1 cm y un nivel de confianza del 95%.

Solución:

a) (174,97, 177, 03)

b) n > 138,3. Luego tamaño mínimo de la muestra debe ser n = 139.

- La longitud de la ballena azul se distribuye según una ley Normal con desviación típica 7,5 m. En un estudio estadístico realizado a 25 ejemplares se ha obtenido el intervalo de confianza (21,06, 26,94) para la longitud media.

- Calcule la longitud media de los 25 ejemplares de la muestra.

- Calcule el nivel de confianza con el que se ha construido dicho intervalo.

Solución:

a) x = 24m

b) 2

Zα = 1,96 el nivel de confianza es del 95%.

- Un fabricante de pilas alcalinas sabe que el tiempo de duración, en horas, de las pilas que fabrica sigue una distribución Normal de media desconocida y varianza 3600. Con una muestra de su producción, elegida al azar, y un nivel de confianza del 95 % ha obtenido para la media el intervalo de confianza (372,6, 392,2).

- Calcule el valor que obtuvo para la media de la muestra y el tamaño muestral utilizado.

- ¿Cuál sería el error de su estimación, si hubiese utilizado una muestra de tamaño 225 y un nivel de confianza del 86,9 %?

Solución:

a) x = 382,4m , n=144.

b) E=6,04.

- Se sabe que la desviación típica del peso de las sandías de una plantación es de 750 gr. Calcular el número mínimo de sandías que se han de elegir para, con un nivel de confianza del 95%, estimar el peso medio de cada una con un error menor que 300 gr. Explicar los pasos realizados para obtener el resultado.

Solución: n > 24,05. El número de sandías mínimo debe ser 25.

- Un fabricante de electrodomésticos sabe que la vida media de éstos sigue una distribución normal con media µ = 100 meses y desviación típica σ = 12 meses. Determínese el mínimo tamaño muestral que garantiza, con una probabilidad del 0,98, que la vida media de los electrodomésticos en dicha muestra se encuentra entre 90 y 110 meses.

Solución: n = 7,81. La muestra debe contener un mínimo de 8 elementos.

- Se desea estudiar el gasto semanal en fotocopias, en pesetas, de los estudiantes de bachillerato de Madrid. Para ello, se ha elegido una muestra aleatoria de 9 de estos estudiantes, resultando los valores siguientes para estos gastos 100 150 90 70 75 105 200 120 80. Se supone que la variable aleatoria objeto de estudio sigue una distribución normal de media desconocida y desviación típica igual a 12. Determínese un intervalo de confianza al 95% para la media del gasto semanal en fotocopias por estudiante.

Solución: (102,16, 117,84), que redondeando queda (102, 118).

- Una variable aleatoria tiene una distribución normal de media µ y desviación típica σ . Si se extraen muestras aleatorias simples de tamaño n:

(a) ¿Qué distribución tiene la variable aleatoria media muestral X ?

(b) Si se toman muestras de tamaño n = 4 de una variable aleatoria X con distribución N(165, 12), calcúlese P(X > 173,7).

- Una variable aleatoria X tiene distribución normal siendo su desviación típica igual a 3.

(a) Si se consideran muestras de tamaño 16, ¿qué distribución sigue la variable aleatoria media muestral?

(b) Si se desea que la media de la muestra no difiera en más de 1 unidad de la media de la población, con probabilidad de 0,99, ¿cuántos elementos, como mínimo, se deberían tomar en la muestra?

Solución:

a) La media muestral sigue una distribución N( µ , 3/4).

b) n = 60.

- Se supone que el peso de las sandías de cierta variedad sigue una distribución normal con desviación típica de 1 kg. Se