Geometria en el Espacio

...

[pic 91][pic 92][pic 93][pic 94][pic 95][pic 96][pic 97]

[pic 98][pic 99]

Las rectas a y b las rectas c y d las rectas e y f pertenecen

Pertenecen a α y pertenecen a β no tienen a distintos planos, no tiene un

Se cortan en A. tiene un punto en común y son punto en común y son

Un punto en común paralelas alabeadas

Posiciones relativas de una recta y un plano:

Recta contenida al plano Recta paralela al plano Recta secante al plano[pic 100]

[pic 101][pic 102][pic 103][pic 104][pic 105][pic 106]

[pic 107][pic 108][pic 109][pic 110][pic 111][pic 112]

[pic 113][pic 114]

[pic 115][pic 116]

Todos sus puntos no tienen punto en tienen un punto en

Coinciden común común

Posiciones relativas de dos planos en el espacio:

Planos Paralelos Planos Secantes Planos Coincidentes

[pic 117] [pic 118] [pic 119][pic 120][pic 121][pic 122][pic 123]

Ni tienen ningún punto tienen un recta en común tienen tres puntos comunes

En común, no se cortan que no están en una línea

Recta

Postulado VI: si dos planos tienen un punto en común se cortan según una recta que pasa por dicho punto.

Defenicion: la recta común a dos planos se llama intersección de los mismos.

α ∩ β determinan la recta A

[pic 124][pic 125][pic 126][pic 127][pic 128]

Perpendicularidad en el espacio: rectas perpendiculares al plano.

Teorema III: Si una recta corta a un plano y es perpendicular a otras dos rectas de este que pasan por el punto de intersección, es perpendicular a cualquier otra recta del plano que pase por dicho punto.

H) q ∩ α determinan P [pic 129][pic 130][pic 131][pic 132][pic 133][pic 134]

a ∈ α, b ∈ α (a y b) ∈ P[pic 135][pic 136][pic 137][pic 138][pic 139][pic 140][pic 141][pic 142][pic 143][pic 144][pic 145][pic 146][pic 147]

q [pic 148] a; q [pic 149] b[pic 150][pic 151][pic 152][pic 153][pic 154][pic 155][pic 156][pic 157]

c ∈ α y pasa por P[pic 158]

T) q [pic 159] c[pic 160][pic 161]

D) en cada una de las semirrectas que determina P en q se toman los puntos M y M’ tales que MP=PM’ (1)

Sobre a se toma un punto cualquiera A y sobre b un punto B que pertenezca al semiplano respecto de c en un punto C (postulado IV)

Uniendo M y M’ con A y B se tiene que:

Siendo PM=PM’ por construcción resulta, en el plano determinado por a y q que AM=AM’ (2)

Por las mismas razones resulta en el plano por b y q, BM=BM’ (3)

AB=AB común[pic 162]

Como MAB=M’AB por tener AM=AM’ por (2)

BM=BM’ por (3)

Resulta MAB=M’AB (4)

Uniendo C con M y M’, se tiene:

AC=AC común [pic 163]

MAC=M’AC por tener AM=AM’ por (2)

MAC=M’AC por (4)

Por lo tanto CM=CM’ (5)

Luego el MCM’ es isósceles y CP que es la mediana correspondiente a su base por (1) es además la altura correspondiente a la misma

Por lo tanto CP [pic 164] MM’ o bien q [pic 165] c

Definición de recta y plano perpendiculares: se dice que un plano y una recta son perpendiculares cuando dicha recta corta al plano y es perpendicular a todas las rectas del mismo que pasan por el punto de intersección.[pic 166]

Es q [pic 167] α en P [pic 168][pic 169][pic 170][pic 171][pic 172][pic 173]

Si q [pic 174] a, q [pic 175] b, q [pic 176] c[pic 177][pic 178][pic 179][pic 180][pic 181][pic 182][pic 183]

Siendo a, b, c,… rectas de α que pasan por el pie P[pic 184]

Condición necesaria y suficiente de perpendicularidad:

De acuerdo con lo demostrado en el teorema III, podemos afirmar que: la condición necesaria y suficiente para que una recta sea perpendicular a un plano, es que sea perpendicular a dos rectas del mismo que pasen por su pie.

La condición es necesaria porque una recta puede ser perpendicular a una sola de un plano sin serlo a las restantes, y es suficiente porque si es perpendicular a dos lo es a todas las demás.

q [pic 185] a en P[pic 186]

Luego q [pic 187] α en P ⇔ q [pic 188] b en P (a ∈ α y b ∈ α)

Teorema de las tres perpendiculares: si una recta es perpendicular a un plano y por su pie se traza la perpendicular a otra recta cualquiera del mismo, esta resulta perpendicular a toda recta determinada por el punto de intersección de las dos últimas con un punto de la primera.

H) q [pic 189] α en P

b ∈ α

a [pic 190] b en R, a ∈ P

S ∈ q[pic 191][pic 192][pic 193][pic 194][pic 195][pic 196]

T) b [pic 197] RS[pic 198][pic 199][pic 200]

D) tomando en b los A y A’ situados en [pic 201][pic 202][pic