COMO SE DA LA GEOMETRÍA EN EL ESPACIO Unidad 1: Fase 2 - Rectas y planos en el espacio

...

[pic 13]

- Por el centro de un círculo de 5 cm. de radio se traza una perpendicular al plano de dicho círculo; ¿Qué altura ha de tener esta perpendicular para que la distancia de su extremo a la circunferencia sea de 7,5 cm.

Respuesta: [pic 14]

h= hipotenusa

a= cateto 1 en este caso altura y nuestra incógnita.

r= cateto 2 en este caso

Recordemos

Tenemos[pic 15]

[pic 16]

Reemplazando

[pic 17]

[pic 18]

[pic 19]

[pic 20]

- Tres círculos iguales de radio 8 cm son tangentes entre sí. Encontrar el área de la región comprendida entre los círculos.

Respuesta:

[pic 21]

[pic 22]

ABC es equilátero por definición

Cada lado de mide 2r

Los ángulos interiores son 60° por definición de triángulo equilátero.

Área de los tres sectores circulares.

[pic 23]

[pic 24]

[pic 25]

Área de triángulo equilátero

[pic 26]

[pic 27]

[pic 28]

Entonces el área sombreada es

[pic 29]

[pic 30]

Problema 3: Rectas

- Halle la ecuación paramétrica de la recta que pasa por el punto (3, 5,7) y es paralela al vector (1,3, 2).

Respuesta

[pic 31]

[pic 32]

[pic 33]

Por tanto: [pic 34]

Ecuación paramétrica: [pic 35]

- Halle las ecuaciones simétricas de la recta que pasa por los puntos (1,4, 8) y (2,3, 6).

Respuesta:

[pic 36]

[pic 37]

Por tanto: [pic 38]

[pic 39]

Problema 4: Planos

- Dados los puntos P = (1, 2, 3), Q = (−1, −2, −3) y R = (0, 1, −1) halle las ecuaciones paramétricas y simétricas de del plano que pasa por los puntos dados.

Respuesta:

[pic 40]

[pic 41]

Por tanto: [pic 42]

Ecuación paramétrica: [pic 43]

Ecuación simétrica: [pic 44]

- Encontrar la ecuación del plano que contiene los puntos (– 2, 4, 1); (3, – 7, 5) y (–1, –2, –1)

Respuesta:

[pic 45]

[pic 46]

[pic 47]

[pic 48]

[pic 49]

[pic 50]

[pic 51]

[pic 52][pic 53]

[pic 54][pic 55][pic 56]

[pic 57]

[pic 58]

[pic 59]

[pic 60]

[pic 61]

[pic 62][pic 63]

[pic 64]

[pic 65]

[pic 66]

. [pic 67][pic 68]

[pic 69]

[pic 70]

[pic 72][pic 71]

[pic 73]

- Halle la ecuación del plano que contiene el punto dado (–4, 1, 6) y que es ortogonal al vector normal (2, –3, 5)

Respuesta:

Punto y que es ortogonal al vector normal [pic 74][pic 75]

[pic 76]

[pic 77]

[pic 78]

[pic 79]

[pic 80]

[pic 81]

[pic 82]

[pic 83]

[pic 84]

- Halle todos los puntos de intersección de los planos y [pic 85][pic 86]

Respuesta:

Planos y [pic 87][pic 88]

1. [pic 89]

[pic 90]

2. [pic 91]

[pic 92]

Igualamos 1 y 2

[pic 93]

[pic 94]

[pic 95]

[pic 96]

- Halle la distancia de (1,−2, 3) al