RECTA Y PLANO Una recta queda definida en el espacio siempre y cuando se conozcan los siguientes aspectos:

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Distancia entre dos rectas

Se llama distancia entre dos rectas a la mínima distancia entre las dos. Obviamente si las rectas se cortan su distancia mínima es cero, pero si son paralelas o se cruzan, su distancia mínima es la que se mide perpendicularmente a ambas.

[pic 72]

Sean las rectas L y M de la figura mostrada, en la cual están representados los vectores y , que son vectores directores de L y de M, respectivamente. La distancia d entre L y M también se representa ahí. Dicha distancia se mide en la dirección perpendicular a ambas rectas, esta dirección puede obtenerse por medio del vector . Si se elige un punto P de la recta L y un punto Q de la recta M, escogidos aleatoriamente, analizando la figura, puede deducirse que la distancia buscada es igual al módulo de la proyección del vector en la dirección del vector ; o lo que es lo mismo, es igual al valor absoluto de la componente escalar del vector en la dirección de , es decir: [pic 73][pic 74][pic 75][pic 76][pic 77][pic 78][pic 79][pic 80][pic 81][pic 82][pic 83][pic 84][pic 85]

d=[pic 86]

*Si se tienen líneas paralelas es recomendable calcular la distancia entre ellas por medio de la obtención de distancias por medio de la obtención de la distancia de un punto de una de ellas a la otra recta.

Intersección entre dos rectas

Cuando dos rectas en el espacio se intersecan se dice que se cortan y si no tienen intersección, entonces se cruzan. Para determinar las coordenadas del punto de intersección de dos rectas que se cortan, debe trabajarse simultáneamente con sus expresiones analíticas. Para mayor facilidad, es recomendable usar las expresiones paramétricas de ambas rectas, con lo que se reduce el número de incógnitas.

7.3 Ecuación vectorial, ecuaciones paramétricas y ecuaciones cartesianas del plano.

Una ecuación vectorial del plano P es la descripción matemática del movimiento de un vector de posición para que con su punto extremo recorra todo el plano. Para establecer una ecuación vectorial del plano P es necesario contar, como datos, con las coordenadas de un punto A que pertenezca al plano y que sirva como apoyo, y con las componentes de dos vectores y paralelos al plano pero no paralelos entre sí, es decir, dos vectores directores. [pic 89][pic 87][pic 88]

De la figura anterior se deduce que para que cualquier punto R de P sea alcanzado por un vector de posición, y procediendo de manera similar que con la recta, al vector de posición del punto de apoyo A puede sumársele un vector que lleve la dirección de pero de tal magnitud que sumándole otro vector, pero ahora con la dirección de y con un módulo adecuado, toque al punto R, es decir: [pic 90][pic 91]

+ ; [pic 92][pic 93][pic 94][pic 95][pic 96][pic 97]

Esta es la ecuación vectorial del plano y en ella m y n son parámetros que permiten asignar la magnitud que se necesite a los vectores , los cuales son paralelos a los vectores directores. [pic 98]

Para establecer las tres ecuaciones paramétricas del plano P basta, como en el estudio de la recta, con usar el concepto de igualdad entre vectores.

- 7.4 Distancia de un punto a un plano. Ángulo entre planos.

- 7.5 Condición de perpendicularidad y condición de paralelismo entre planos.

- 7.6 Distancia entre planos.

- 7.7 Intersección entre planos.

- 7.8 Ángulo entre una recta y plano

El ángulo entre una recta y un plano es el que forma la recta con su proyección perpendicular sobre el plano.

[pic 99]

De donde se observa que el ángulo ↑

- 7.9 Condición de paralelismo y condición de perpendicularidad entre una recta y un plano.

- 7.10 Intersección de una recta con un plano.

- 7.11 Distancia entre una recta y un plano

BIBLIOGRAFÍA

Castañeda, É. (2011). Geometría Analítica en el espacio (7ma ed., pp. 74-115). México, D.F.: Universidad Nacional Autónoma de México.