Función cúbica La función cúbica es aquella que queda definida por una expresión polinómica de tercer grado

...

Si k = 0 → y = x3 → [pic 5] (1)

Si k = 1 → y = x3 +1 → [pic 6] (2)

Si k = 2 → y = x3 +2 → [pic 7] (3)

Si k = -1 → y = x3 -1 → [pic 8] (4)

[pic 9]

En general, en todos estos casos se observa que:

- Dom(f) = R , Im(f) = R

- V = (0, k)

- Si k > 0 la parábola se desplaza k unidades hacia arriba

- Si k k unidades hacia abajo

La función y = x3 + k con k[pic 10] muestra una traslación sobre el eje y con respecto a la función y = x3.

III) Supongamos ahora que a = 1 y k = 0 y entonces la función f(x) = a(x-h)3 + k toma la forma y = (x – h)3 con h[pic 11]. Asignemos distintos valores a h y observemos que ocurre con sus gráficos y elementos:

Si h = 0 → y = x3 → [pic 12] (1)

Si h = 1 → y = ( x – 1 )3 → [pic 13] (2)

Si h = 2 → y = ( x – 2 )3 → [pic 14] (3)

Si h = -1 → y = ( x +1 )3 → [pic 15] (4)

[pic 16]

En general, en todos estos casos se observa que:

- Dom(f) = R , Im(f) = R

- V = (h, 0)

- Si h > 0 la parábola se desplaza h unidades hacia la derecha.

- Si h h unidades hacia la izquierda.

La función y = (x –h)3 con h[pic 17] muestra una traslación sobre el eje x con respecto a la función y = x2.

Observación: Toda función cúbica puede expresarse en forma canónica como:

f(x) = a(x – h )3 + k y de esta forma se pueden determinar rápidamente todas las características de la misma, es decir:

- Dom(f) = R ; Im(f) = R

- Vértice V = (h, k)

- h indica un desplazamiento sobre el eje x en ⎢h⎢ unidades hacia la derecha si h>0, o ⎢h⎢ unidades hacia la izquierda si h

- k indica un desplazamiento sobre el eje y en ⎢k⎢ unidades hacia arriba si k>0, o ⎢k⎢unidades hacia abajo si k

- Si a>0 la función es creciente en todo su dominio y si ala función es decreciente en todo su dominio.

- Solo será impar cuando h = 0 y k = 0

- Nunca será par.

Ejemplos:

- f(x) = -(x–2)3 + 1

→[pic 18]

[pic 19]

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- f(x) = -(x+3)3 - 2

→[pic 20]

[pic 21]

- f(x) = 3(x-4)3 + 2

→[pic 22]

[pic 23]

Observación: En las funciones de la forma f(x) = a(x – h )n + k con n∈N se debe tener en cuenta si n es par o impar.

Si n es impar: Dom(f) = R ; Im(f) = R y se trata de funciones que se obtienen trasladando la función f(x) = a.xn

- [pic 24]unidades sobre el eje x→ [pic 25]

- [pic 26]unidades sobre el eje y→ [pic 27]

Ejemplos: (1) f(x) = 2(x-1)5 + 2 (2) f(x) = (x-1)9 – 1

[pic 28]

Si n es par: Dom(f) = R ; Im(f) ⊂R y se trata de funciones que se obtienen trasladando la función f(x) = a.xn

- [pic 29]unidades sobre el eje x→ [pic 30]

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