TAREA 1: RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO

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Para crear la ecuación es necesario tener una serie de puntos, en la imagen se muestran dos vectores que están ligados al punto inicial r0 y r y que su punto final se encuentra en el plano, dichos puntos finales tiene coordenadas dentro del plano y se representan de la siguiente manera P0 (x0,y0,z0) y P (x, y, z) respectivamente.[pic 28]

Para seguir adelante con el análisis de la ecuación del plano es necesario trazar un vector que une los dos puntos finales de los dos vectores antes mencionados y se llamara y dicho vector tendrá como coordenadas los siguientes puntos y que visto desde otro punto de vista es la resta de entre los dos vectores . Por ultimo se tiene un vector que es necesario en la construcción de la ecuación del plano y es aquel vector que es perpendicular al plano y a su vez al vector . [pic 29][pic 30][pic 31][pic 32]

Teniendo en cuenta lo anterior se puede decir que el producto escalar de estos vectores debe dar cero ya que el vector es perpendicular al vector , por consiguiente se tiene la siguiente expresión a dicha expresión se le conoce como ecuación vectorial de un plano. A manera de resumen para determinar la ecuación del plano se debe conocer un punto que pertenezca al plano y un vector que sea perpendicular a todos los puntos dicho plano, o también, dos vectores directores y un punto en el plano. [pic 33][pic 34][pic 35]

Ahora miremos las coordenadas de cada uno de los vectores mencionados.

, , [pic 36][pic 37][pic 38]

Ahora reemplazando estos valores en la ecuación antes determinada se obtiene.

[pic 39]

[pic 40]

[pic 41]

A la expresión encontrada se le conoce como la ecuación escalar del plano. A partir de la anterior expresión se puede extender seguir operando de la siguiente manera.

[pic 42]

[pic 43]

Cuando se resuelven las operaciones del otro lado de la igualdad nos da como resultado un número real, por lo tanto a la parte que se encuentra a la derecha de la ecuación se le da el nombre de d, por lo que se obtiene la siguiente expresión.

[pic 44]

Dicha expresión recibe el nombre de ecuación lineal del plano. En conclusión dichas ecuaciones encontradas son equivalentes y representan un mismo plano.

- Resolver los siguientes 8 (ocho) ejercicios propuestos

A) Se fija el extremo de un cordel de 5 metros de largo en el techo de un aposento de 4 metros de alto, y en el otro extremo del cordel extendido, se traza una circunferencia en el piso; calcule el área de la círculo resultante.

Para hallar el área del círculo resultante utilizamos la fórmula: