El nuevo Movimiento en el plano y el espacio

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Tipos de ecuación de la trayectoria.

•Ecuación de la trayectoria paramétricas: (Vea la página numero )

•Ecuación de la trayectoria explícita: Se obtiene eliminando el parámetro t de las expresiones

anteriores y despejando una variable en función de la otra. En el caso de nuestro ejemplo nos

quedaría:

•x = t+2 ⇒ t = x−2

•y = t² ⇒ y = (x−2)²

•Ecuación de trayectoria implícita: Se obtiene haciendo f(x,y)= 0.

•(x−2)² − y = 0

Ecuaciones paramétricas de la trayectoria a partir del vector posición.

Para ondear este punto vamos a responder ¿Qué son las ecuaciones paramétricas? y a partir de

las definición de trayectoria y vector posición definiremos el tema.

Las ecuaciones paramétricas parten de un lugar geométrico con expresión analítica, estos

lugares geométricos se expresan mediante una ecuación que a lo más contienen dos variables. La

representación analítica de una curva por medio de un par de ecuaciones en las cuales cada una las dos

variables esta expresada en función de una tercera variable, llamado parámetro son ecuaciones

paramétricas. Por ejemplo, la circunferencia x²+y²=1 puede representarse también por las dos

ecuaciones x =cos θ, y=sen θ, siendo θ una variable independiente que puede tomar cualquier valor

real. Elevando al cuadrado ambos términos y sumando se obtiene x²+y²= cos²θ+sen²θ, la cual para

cualquier valor de θ sera igual a la primera ecuación.

Dado la definición anterior de trayectoria podemos asumir que las ecuaciones paramétricas de la

trayectoria son un tipo de ecuaciones que describen el recorrido de una partícula en un sistema de

referencia en función de un tiempo (t) en la forma x=x(t), y=y(t), z=z(t). Por ejemplo, las coordenadas

paramétricas de un cuerpo que se desplaza en el plano x-y pueden ser:

•x=t+2

•y=t²

Estas ecuaciones dependerán de un origen porque toda curva o trayectoria posee un comienzo

que en este caso sera el mismo que el del vector posición y su modulo puede ser representado tanto en

dos o tres dimensiones por la formula del modulo del vector posición.

Curvas notables.

Elipse.

Una elipse con centro en el origen de coordenadas que se interseque con el eje x en a y -a, y con el eje

y en b y -b, verifica que (x/a)²+ (y/b)²=1. Una expresión paramétrica es x= a.cos (t) , y= b.sen (t)

Circunferencia.

Una circunferencia con centro en el origen de coordenadas y y radio r verifica que x²+y²=r².

Una expresión paramétrica es x= r cos(t) , y= r sen(t).

Parábola.

Una parábola paralela al eje de las abscisas cumple que y²=4px. Una expresión paramétrica es

y= p.cot (t), x= (p/2) cot² (t)

Hipérbola.

Una hipérbola con centro en el origen tiene la siguiente ecuación (x/a)² – (y/b)²=1. Una expresión

paramétrica es x=a sec (t), y=b tan (t).

Relación entre el vector posición y trayectoria, su expresión en el espacio, en el plano y en una

dimensión.

Cuando un cuerpo se desplaza desde un punto a otro lo hace describiendo una linea geométrica

en el espacio. A esa linea geométrica se le denomina trayectoria y está formada por las sucesivas

posiciones del extremo del vector posición a lo largo del tiempo. Es, por tanto, frecuente encontrar las

coordenadas x,y y z del vector de posición escritas en función del tiempo como x(t),y(t) y z(t) para

representar la evolución de la posición los cuerpos a lo largo del tiempo.

El vector posición que a su vez puede representar en un sistema de referencia de mínimo una

dimensión hasta el conocido de tres dimensiones junto a la trayectoria van formando la linea desde la

partida de una función hasta un punto cualquiera dicho recorrido tendrá unas sucesiones de tramos

rectos o curvos. En una dimensión la esta relación sera la de una recta que parte del origen hasta un

punto cualquiera en el sistema de coordenadas.

Velocidad Instantánea.

Es la velocidad que indica la rapidez de una partícula y su dirección en un tiempo especifico. El

movimiento de dicha partícula se puede describir con mayor detalle, necesitando definir la velocidad

en cualquier punto especifico del camino.

Para Young y Freedman (2009) “obtener la velocidad instantánea del auto de la figura 2.1 en el

punto P 1 , movemos el segundo punto P 2 cada vez más cerca del primer punto P 1 y calculamos la

velocidad media Vmed-x=∆x/∆t para estos desplazamientos y lapsos cada vez más cortos. Tanto ∆x y ∆t

se hacen muy pequeños; pero su cociente no necesariamente lo hace. En el lenguaje del cálculo, el

límite de ∆x/∆t cuando ∆t se acerca a cero es la derivada de x con respecto a t y se escribe dx/dt. La

velocidad instantánea