Aplicar las ecuaciones de movimiento para movimientos de traslación, rotación alrededor de un eje fijo y movimiento plano general

...

IP =ʃ r2 dm. Así

Σ MP= -[pic 8]m(aP)x+ [pic 9]m(aP)y + IPα

Es posible reducir esta ecuación a una forma más simple si el punto P coincide con el centro de masa G para le cuerpo. Si este es el caso, entonces [pic 10]=[pic 11]= 0, y por tanto.

[pic 12]

Σ MG = IGα

Esta ecuación de movimiento de rotación establece que la suma de los momentos de todas las fuerzas externas calculadas respecto al centro de masa G es igual al producto del momento de inercia del cuerpo con respecto a un eje que pase por G y la aceleración angular del cuerpo.

[pic 13]

[pic 14]

2.- ECUACIONES DE MOVIMIENTO: TRASLACION

Cuando un cuerpo rígido experimenta una traslación, todas sus partículas tienen la misma aceleración, de modo que aG = a. Además α = 0, en cuyo caso la ecuación de movimiento de rotación aplicado al punto G se reduce a una forma simplificada, esto es, Σ MG = 0.

Traslación rectilínea. Cuando un cuerpo esta sometido a traslación rectilínea. Todas sus partículas viajan a lo largo de trayectorias paralelas de línea recta. Los diagramas de cuerpo libre y cinético se muestran en la figura:

[pic 15]

Diagrama de cuerpo libre Diagrama cinético

Como IG α= 0, solo maG se muestra en el diagrama cinético. Por consiguiente, las ecuaciones de movimiento son:

[pic 16]

ΣFx = m (aG)x

ΣFy = m (aG)y

Σ MG = 0

También se suman momentos con respecto a otros puntos sobre y fuera del cuerpo, en cuyo caso el momento de maG debe tomarse en cuenta. Por ejemplo, si se elige el punto A, que se encuentra a una distancia d de la línea de acción de maG es aplicable la siguiente ecuación de momento:

ΣMA= Σ (ℳK)A

ΣMA = (maG) d

Traslación curvilínea. Cuando un cuerpo rígido esta sometido a traslación curvilínea, todas sus partículas viajan por trayectorias paralelas curvas. Para el análisis, es conveniente usar un sistema coordenado normal y tangencial a la trayectoria del movimiento

[pic 17][pic 18]

[pic 19]

Diagrama de cuerpo libre Diagrama cinético

Las tres ecuaciones escalares de movimiento:

[pic 20]

ΣFn = m (aG)n

Σ Ft = m (aG)t

Σ MG = 0

Aquí (aG)t y(aG)n representan, respectivamente, las magnitudes de las componentes de aceleración tangencial y normal del punto G.

Si la ecuación de momento Σ MG = 0 es reemplazada por una suma de momentos con respecto al punto arbitrario B, es necesario tomar en cuenta los momentos, Σ (ℳK)B, de las dos componentes m(aG)n y m(aG)t con respecto a este punto. A partir del diagrama cinético, h y e representan las distancias perpendiculares desde B hasta las líneas de acción de las componentes. Por lo tanto, la ecuación de momento se convierte en

ΣMB= Σ (ℳK)B

ΣMB= e [m (aG) t ] – h [m (aG) n]

METODOLOGÍA DE ANALISIS

Los problemas de cinética que implican traslación de un cuerpo rígido pueden ser resueltos usando el siguiente procedimiento.

Diagramas de cuerpo libre.

- Establezca el sistema coordenado inercial x, y o n, t y dibuje el diagrama de cuerpo libre para tomar en cuenta todas las fuerzas externas y los momentos de par que actúan sobre el cuerpo.

- La dirección y el sentido de la aceleración del centro de masa del cuerpo aG deben ser establecidos.

- Identifique las incógnitas presentes en el problema.

- Si en la solución se decide usar la ecuación de movimiento de rotación

Σ M P=Σ (ℳK)P, entonces considere dibujar el diagrama cinético, ya que toma en cuenta gráficamente las componentes m(aG)x , m(aG)y o m(aG)n, m(aG)..

Ecuaciones de movimiento

- Aplique las tres ecuaciones de movimiento de acuerdo con la convención de signos establecida.

- Para simplificar el análisis, la ecuación de momento Σ MG = 0 puede ser reemplazada por la ecuación más general Σ M P=Σ (ℳK)P, donde usualmente el punto P está ubicado en la intersección de las líneas de acción de tantas fuerzas desconocidas cómo es posible.

- Si el cuerpo está en contacto con una superficie rugosa y ocurre deslizamiento, use la ecuación de fricción F = μkN. Recuerde que la fuerza de fricción siempre actúa sobre el cuerpo oponiéndose al movimiento del cuerpo con relación a la superficie de contacto.

Cinemática

- Use cinemática cuando la velocidad y la posición del cuerpo deban ser determinados.

- Para traslación rectilínea con aceleración variable, use aG = dvG/ dt, aGdsG = vGdvG,

- vG = dsG/ dt.

- Para traslación rectilínea con aceleración constante, use

vG= (vG)0 + aGt v2G = (vG)20 + 2aG [sG- (sG)0]

sG= (sG)0 + (vG)0t + 1/2aGt2.

- Para traslación curvilínea, use

(aG) n = v2G / ρ (aG) t = dvG/ dt,

(aG) t dsG= vGdvG,

1.-Una placa rectangular uniforme de masa m = 200 kg y lados 3 y 4 m , tal como se muestra

en la figura adjunta, está suspendida por dos pasadores A y B que pueden deslizar a lo largo de

una barra