Deducir las ecuaciones de movimiento del sistema a partir de las ecuaciones de Euler-Lagrange.

...

Este sistema conserva su energía total, la cual es la suma de la energía cinética y la potencial gravitatoria. Al estar ante un problema en el que la partícula está sometida a un campo de fuerzas conservativo, su trayectoria o ecuaciones de movimiento pueden ser encontradas mediante las ecuaciones de Euler-Lagrange:

[pic 89][pic 90] (2)

Siendo [pic 91][pic 92] el Lagrangiano, [pic 93][pic 94] donde [pic 95][pic 96] donde [pic 97][pic 98] es el número de grados de libertad y las coordenadas [pic 99][pic 100] son independientes: [pic 101][pic 102] queda definido como

[pic 103][pic 104]

En este caso, [pic 105][pic 106]

Con el objetivo de deducir las ecuaciones de movimiento a partir de Euler-Lagrange, se procede hallando la ley horaria de la partícula, tal como fue definido antes.

El vector posición de la partícula [pic 107][pic 108] está dado por

[pic 109][pic 110] (3)

Se deriva la posición en el tiempo para obtener la velocidad:

[pic 111]

Se observa que [pic 112][pic 113] y [pic 114][pic 115], por lo tanto:

[pic 116][pic 117] (4)

Las ecuaciones (3) y (4) conforman la ley horaria de [pic 118][pic 119]

Energía cinética: [pic 120][pic 121] (5)

Se hace el producto vectorial de [pic 122][pic 123]

[pic 124]

[pic 125][pic 126] (6)

Se desea encontrar una relación de [pic 127][pic 128]

Se deriva en el tiempo la restricción de la ecuación (1): [pic 129][pic 130]

Por la geometría del sistema [pic 131][pic 132] es una distancia constante, que no depende del tiempo. [pic 133][pic 134] por lo tanto resulta que

[pic 135][pic 136] [pic 137][pic 138] (7)

Entonces, combinando (6) y (7):

[pic 139][pic 140]

Haciendo alusión a las relaciones trigonométricas: [pic 141][pic 142] resulta en:

[pic 143][pic 144] (8)

Combinando (5) y (8) se obtiene la energía cinética del sistema

[pic 145][pic 146] (9)

Energía potencial gravitatoria: [pic 147][pic 148] (10)

Siendo [pic 149][pic 150] la aceleración gravitatoria considerada constante.

En el sistema considerado no hay energía potencial de deformación [pic 151][pic 152].

Queda definido el Lagrangiano [pic 153][pic 154] como:

[pic 155][pic 156] (11)

Utilizando la expresión (2):

[pic 157][pic 158] (12)

[pic 159][pic 160] (13)

Se hace notar que en las ecuaciones (12) y (13) se omitió la dependencia de [pic 161][pic 162] para simplificar la notación.

[pic 163][pic 164] (14)

[pic 165][pic 166] (15)

Se operará de forma de obtener las ecuaciones deseadas.

En primer lugar, se nota de la ecuación (15) que:

[pic 167]

Al ser la derivada en el tiempo igual a cero, se obtiene:

[pic 168][pic 169]. (16)

Se opera en la ecuación (14). Se elimina [pic 170][pic 171] y se hace un cambio de signos por estar la ecuación igualada a cero, obteniendo:

[pic 172]

Luego se sustituye [pic 173][pic 174] y [pic 175][pic 176]

[pic 177]

Se utiliza la propiedad distributiva, se sustituye [pic 178][pic 179] y se ordenan los términos

[pic 180]

Se multiplican todos los términos por [pic 181][pic 182] y se obtiene

[pic 183]

Operando y recordando la identidad trigonométrica: [pic 184][pic 185]

[pic 186][pic 187] (17)

Se multiplican todos los términos de la ecuación (17) por [pic 188][pic 189] y combinando con la ecuación (16) se llega al siguiente resultado:

[pic 190][pic 191] (18)

La ecuación (18) es una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden, ésta es la ecuación de movimiento del sistema buscada, para la coordenada [pic 192][pic 193].

Reescribir la ecuación diferencial ordinaria de segundo orden como un sistema de tamaño 2x2 de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden.

El objetivo es conseguir un sistema de ecuaciones de la siguiente forma:

[pic 194]

Se comienza despejando [pic 195][pic 196] de la ecuación (18): [pic 197][pic 198]

Se define una función [pic 199][pic 200] tal que [pic 201][pic 202]. Por lo tanto [pic 203][pic 204]

[pic 205]

Por las condiciones iniciales dadas por la letra del ejercicio, [pic 206][pic 207]

Se observa que el valor [pic 208][pic 209] brindado por los datos del problema no es indispensable para la resolución de este ejercicio, ya que fácilmente se podría encontrar [pic 210][pic 211] en función de [pic 212][pic 213] con los datos del problema, si se quisiera. Se hallará, a modo ilustrativo, para tener más detalles del ejercicio analizado.