Sistema de ecuaciones lineales.

...

[pic 11]

Despejamos en las dos ecuaciones una de las incógnitas, por ejemplo la x:

[pic 12]

El valor de x ha de ser el mismo en las dos ecuaciones, por lo tanto tenemos:

[pic 13]

Pasando todos los términos con y a un miembro de la ecuación, y los términos independientes al otro:

[pic 14] [pic 15]

Operando tenemos:

[pic 16] [pic 17] [pic 18]

Con lo que tenemos el valor de y. Sustituyendo este valor en la primera ecuación y despejada la x, tenemos que si:

[pic 19] [pic 20]

Resulta que x vale:

[pic 21]

[pic 22]

La solución del sistema es:

[pic 23]

[pic 24]

Método de reducción

El método de reducción consiste en multiplicar cada una de las ecuaciones por los valores necesarios, de forma que los coeficientes de una de las incógnitas sean los mismos cambiados de signo. Conseguido esto, se suman las dos ecuaciones y la incógnita que tiene los coeficientes opuestos se elimina, dando lugar a una ecuación con una incógnita, que se resuelve haciendo las operaciones necesarias. Conocida una de las incógnitas se sustituye su valor en una de las ecuaciones originales y calculamos la segunda.

Tenemos como ejemplo el sistema:

[pic 25]

En este caso la x, ya tiene el mismo coeficiente en las dos ecuaciones cambiado de signo y no es necesario hacer ninguna operación para lograrlo; podemos sumar las dos ecuaciones directamente:

[pic 26]

Como resultado de la suma tenemos una sola ecuación con una incógnita:

y=3[pic 27][pic 28]

Para calcular el valor de x, sustituimos el valor de y en una de las ecuaciones, por ejemplo la primera:

[pic 29][pic 30][pic 31]

El resultado del sistema es el valor de x e y que satisface las dos ecuaciones simultáneamente, que como ya sabíamos es:

[pic 32] [pic 33]

Método de sustitución

El método de sustitución consiste en despejar una de las incógnitas en una de las ecuaciones y sustituirlo en la otra, dando lugar así a una ecuación con una incógnita. Una vez resuelta sustituimos su valor en la ecuación despejada y calculamos la segunda incógnita.

Empleando el mismo ejemplo de sistema veamos cómo se resolvería por el método de sustitución:

[pic 34]

Podemos despejar cualquiera de las dos incógnitas en cualquiera de las dos ecuaciones. Probemos primero despejando la x de la primera ecuación:

[pic 35]

Si ahora sustituimos el valor de x despejado de la primera ecuación en la segunda, tenemos:

[pic 36]

Resultando una sola ecuación en y, que podemos resolver:

[pic 37] [pic 38] [pic 39][pic 40]

[pic 41] [pic 42] [pic 43]

Con lo que ya tenemos el valor de y. Con este valor de y en la primera ecuación, despejamos la x:

[pic 44] [pic 45] [pic 46]

[pic 47] [pic 48]

La solución del sistema es, por tanto

[pic 49]

[pic 50]