MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

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La ultima ecuación nos indica que 0X1, 0X2, 0X3 lo que os da una inecuación 0 diferente a -1, así el sistema no tiene solución y decimos que el sistema es inconsistente.

Decimos que un sistema de ecuaciones lineales es inconsistente cuando el sistema no tiene solución; se dice que un sistema que tiene al menos una solución es consistente.

Las matrices R1,R2,R3, se llaman formas escalonadas reducidas por reglones de las matrices A1,A2 Y A3 respectivamente

Una matriz se encuentra en la forma escalonada reducida por reglones si s e cumplen las siguientes condiciones.

- Todos los renglones(si los hay) cuyos elementos son todos ceros aparecen en la parte inferior de la matriz.

- El primer número diferente de cero entre paréntesis (comenzando por la izquierda ) en cualquier renglón cuyo elemento no todos son ceros es uno.

- Si dos renglones sucesivos tienen elementos distintos de cero entonces el primero 1 en el renglón de abajo está más hacia la derecha que en el primer 1en el renglón de arriba

- Cualquier columna que contiene el primer 1 en un renglón tiene ceros en el resto de sus elementos ; el primer número =O en un renglón (si lo hay) se llama pivote para ese renglón.

Una matriz esta en forma escalonada por renglones si se cumplen las tres primeras condiciones anteriores.

R2 = [pic 34][pic 35]

R3 = R4 = [pic 36][pic 37]

La diferencia entre estas dos formas debe ser evidente a partir de los ejemplos. En la forma escalonada por renglones todos los números abajo del primer uno deber ser cero. Así la forma escalonada reducida por renglones es más exclusiva esta es que una matriz en forma escalonada reducida por renglones se encontró también en forma e escalonado por renglones realizando operaciones, mentales con renglones. Siempre se puede reducir una matriz a la forma escalonada reducida por renglones a la forma escalonada por renglones realizando operaciones elementales con renglones.

Método de eliminación Gaussiana para resolver un sistema de m x n

Resolver el sistema reduciendo la matriz de coeficiente a la F.E.R

→ → [pic 38][pic 39][pic 40]

→ [pic 41][pic 42]

R3 →R3(-1)R3[pic 43]

Ahora la matriz se encuentra en la forma F.E.R y regresando al sistema nos quedaría

X1+2X2+3X3 = 9 X1= 9-2X3-3X3= 4

X2+2X3=4 X2= 4-2X3= -2

X3=3 X3= 3

Existe una fuerte relación entre la forma escalonada reducida por renglones y la existencia de la solución único para el sistema ,Ejemplo en el primer sistema.

En los sistemas 2,3 la forma escalonada reducida por renglones tienen un renglón de cero y el sistema o no tiene solución a tiene un número ∞ de soluciones.

La matriz aumenta del sistema y sobre todo los coeficientes de la matriz se encuentran en forma escalonada por renglones y podemos que X1 y luego x1 y encontrar los valores de las magnitudes , llegando nuevamente a la solución única , este método que acabamos de aplicar es de eliminación guascama.

Eliminación de Gauss – Jordán

Se reduce por renglón la matriz de coeficientes a la forma escalonada por renglones.

Eliminación Gaussiana

En cambio se reduce por renglón la matriz de coeficiente a la forma escalonada , se despea el valor de la última incógnita y después usamos la sustitución hacia atrás para los demás incógnitas ¿ pero cuál es el método más utilizado? Para resolver el sistema de ecuaciones.

Si se va a resolver mediante una computadora se prefiere el método de eliminación gaussiana ya que tiene más operaciones fundamentales (ELEMENTALES) sobre renglones ,`por ejemplo para resolver sistemas de n ecuaciones con min de incognitos la eliminación de Gauss Jordán requiere n3/3 sumas y multiplicaciones.

Ahora estudiemos la solución de un sistema general de m ecuaciones con n incognitos utilizaremos mayormente la eliminación de Gauss Jordán y en ciertos casos la eliminación gaussiana , este sistema general está dada de la siguiente manera:

[pic 44]

a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2

· · ·

am1x1+am2x2+···+amnxn=bm

En el sistema todos los coeficientes aij y bi, son números reales dados; el problema es encontrar los conjuntos de n números denotados por ( X1,X2….Xn) que satisfagan cada una de las m ecuaciones. El número aij es el coeficiente de la variable xj en i-esima ecuación

- Un problema de administración de recursos:

Un señor va a producir peces para e l mercado y se encuentra en un problema de querer saber cuántos peces de tres especies distintos pueden existir en el lago con el siguiente problema le proporcionan tres tipos de comida para tres especies de peces y se ha dado cuanto que cada peso de la especie 1 promedio de una unidad de alimento A, 1 unidad de alimento B y 2 unidades de alimento C, cada pez de la especie 2 consume cada semana 3 unidades de alimento A,4 unidades de alimento By 5 unidades de alimento C y para cada pez de la especie 3 el promedio semanal de consumo es de dos unidades de alimento A , 1 unidad del alimento B y S del alimento A 2000 unidades de alimento B y 55000 unidades del alimento C. ¿Cómo resolvería este problema.?

[pic 45]

1X1+3X2+2X3 = 25000

1X1+4X2+1X3 = 20000

3X1+5X2+5X3 = 55000

→ R2→(-1)R1[pic 46][pic 47]

[pic 48]

X1+5X3 = 40000 1) X1= 40000-5X3

X2-X3 = -5000 2) X2= -5000 +X3

X3 = X3 S=( 40000-5X3,