SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES: METODOS ITERATIVOS

...

if (abs(x[i]-y)

flag++;

cout

}

cout

count++;

}while(flag

cout

for (i=0;i

cout

return 0;

}

5. Explica que significa refinamiento iterativo y ¿para qué sirve?

Es tratar de reducir los errores de redondeo

Si el sistema lineal Ax=b se resuelve en una máquina o usando aritmética de tdígitos con el método de eliminación gaussiana, entonces debido a errores de redondeo se espera que la solución encontrada no sea exacta, sino una aproximación.

Observe que si x es una aproximación de x,

AX=b y A[pic 10]= b

X=A-1b y [pic 11] = A-1b

Ahora X= [pic 12] + X - [pic 13], si se define el vector error e = X- [pic 14], entonces

(3) X= [pic 15] + e y e = X - [pic 16] = A-1b - A-1 b = A-1(b - b) = A-1 r

(4) e = A-1r o Ae = r

Los resultados (3) y (4) conducen a un procedimiento llamado mejoramiento iterativo o refinamiento iterativo. El método consiste en el mejoramiento de la aproximación en la iteración k a partir de

X(k) = X(k-1)+e(k-1) y r(k-1) = b - AX(k-1).Ae(k-1) = r(k-1)

El éxito del método depende de calcular el vector residual r con doble precisión, con el fin de evitar la pérdida de dígitos significativos que resulta de la resta. Si se emplea la aritmética de t dígitos un procedimiento adecuado para interrumpir el procedimiento consiste en iterar que |ei(k)| [pic 17] 10-t, para cada i=1,2,...,n.

6. Este método es el mejor para ser usado en plataformas como el Arduino, ¿Porqué?.

No por la memoria del Arduino ya que

Los métodos iterativos tienen asociado un error de truncamiento y se usan preferiblemente para matrices grandes (n>>1000) cuando los coeficientes de A son la mayoría nulos – matrices sparse-). Algoritmos sencillos de implementar que requiere aproximación inicial y que en general no tiene porqué converger

(requieren análisis de convergencia previo)

y

métodos directos (son exactos (no tienen asociado error de truncamiento), y son usados cuando la mayoría de los coeficientes de A son distintos de cero y las matrices no son demasiado grandes). Suelen ser algoritmos ‘complicados de implementar’

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