Ecuaciones lineales metodo simplex.

...

2do caso:

Sea: J: aij Xj ≥ bi

J: aij Xj - Si = bi

Donde:

aij Xj = cantidad mínima necesaria de recursos para la ejecución de la actividad “J”

bi = recursos disponibles para la ejecución de la actividad “J”

Si = holgura de la actividad “J”

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En el presente caso, la holgura negativa -Si refleja una falta de recursos (déficit) que de no asignarse, dicha actividad no podría concretarse, paralizándose temporalmente el proceso productivo y pudiendo desencadenar colateralmente otros malestares de orden social y económico.

3er caso:

Sea: J: aij Xj = bi

J: aij Xj ± Si = bi ; Si = 0

Donde:

aij Xj = cantidad mínima necesaria de recursos para la ejecución de la actividad “J”

bi = recursos disponibles para la ejecución de la actividad “J”

Si = holgura de la actividad “J”

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Este caso, en que la cantidad necesaria de recursos y su disponibilidad se igualan, es decir, la holgura es nula, Si = 0, se interpreta que se estaría operando a plena capacidad en dicha fase del proceso productivo.

Aclarado el concepto de holgura, pasamos a formular el programa lineal correspondiente al problema antecitado como sigue:

Problema original:

Sean: X1 , X2 , X3 = n° unidades de los productos 1, 2, 3 a producir

F.O.: (MAX) Z = 3X1 + 2X2 + 5X3

Sujeto a:

Operación 1: X1 + 2X2 + X3 ≤ 430

Operación 2: 3X1 + 2X3 ≤ 460

Operación 3: X1 + 4X2 ≤ 420

X1 , X2 , X3 ≥ 0

Incorporando variables de holgura:

F.O.: (MAX) Z = 3X1 + 2X2 + 5X3 + 0 S1 + 0 S2 + 0 S3

Sujeto a:

Operación 1: X1 + 2X2 + X3 + S1 = 430

Operación 2: 3X1 + 2X3 + S2 = 460

Operación 3: X1 + 4X2 + S3 = 420

X1 , X2 , X3 , S1 , S2 , S3 ≥ 0

Donde: S1 , S2 , S3 = capacidades no utilizadas

Despejando, se tiene:

S1 = 430 - X1 - 2X2 - X3 (I)

S2 = 460 - 3X1 - 2X3 (II)

S3 = 420 - X1 - 4X2 (III)

(I) + (II) + (III):

S1 + S2 + S3 = 1310 - 5X1 - 6X2 - 3X3 (IV)

Pero: S1 + S2 + S3 ≤ 10 (V)

Luego:

Reemplazando (V) en (IV) y multiplicando por (-1), se tiene:

1310 - 5X1 - 6X2 - 3X3 ≤ 10 (-1)

5X1 + 6X2 + 3X3 ≥ 1300

Finalmente, incorporando esta restricción al modelo original:

F.O.: (MAX) Z = 3X1 + 2X2 + 5X3

Sujeto a:

Operación 1: X1 + 2X2 + X3 ≤ 430

Operación 2: 3X1 + 2X3 ≤ 460

Operación 3: X1 + 4X2 ≤ 420

Condición de capacidad ociosa: 5X1 + 6X2 + 3X3 ≥ 1300

X1 , X2 , X3 ≥ 0

- Solución:

Pauta de producción: X1 / X1 + X2 ≥ 0.4

X1 ≥ 0.4X2 + 0.4X3

X1 - 0.4X2 - 0.4X3 ≥ 0

Incluyendo ésta restricción en el problema original:

F.O.: (MAX) Z = 3X1 + 2X2 + 5X3

Sujeto a:

Operación 1: X1 + 2X2 + X3 ≤ 430

Operación 2: 3X1 + 2X3 ≤ 460

Operación 3: X1 + 4X2 ≤ 420

Pauta de producción: X1 - 0.4X2 - 0.4X3 ≥ 0

X1 , X2 , X3 ≥ 0

EJERCICIOS PROPUESTOS

- Supóngase que el Banco de Crédito al Campesino, tiene dos planes de inversión: el primero en el programa de tierras de riego y el segundo en el programa de tierras de temporal. El primer programa regresa un 30% de la inversión anualmente, mientras que el segundo plan regresa un 65% de la inversión, pero al término