Matrices y sistemas de ecuaciones lineales

...

sea distinto de cero

PROPIEDAD 20. La inversa de una matriz, si existe, es única

PROPIEDAD 21. El determinante de la inversa de una matriz, coincide con el inverso del

determinante de la matriz.

A

A

1 1  

PROPIEDAD 22. La inversión es involutiva, es decir, aplicada dos veces (o un número par

de veces) resulta la matriz inicial. La matriz inversa de la matriz inversa es la propia matriz

A   A

1 1

PROPIEDAD 23. La inversa de un producto es igual al producto de las inversas cambiadas

de orden (de multiplicación).

  1 1 1

. .   

A B  B A

PROPIEDAD 24. La inversa de la transpuesta de una matriz, es igual a la transpuesta de la

inversa de la matriz

   t t A A 1 1



DEFINICION 9. Se denominan matrices regulares a las matrices tales que existe su inversa

y matrices singulares en caso contrario, si no existe su inversa.

Nociones previas: Matrices y sistemas de ecuaciones lineales

Matemáticas Empresariales. (Curso 2013-2014)

Grado en Administración y Dirección de Empresas (Online). Universidad Rey Juan Carlos

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5.1. Cálculo de la matriz inversa

La inversa de la matriz A es igual al inverso de su determinante por la matriz formada por los

adjuntos de A transpuestos.

8

( )

det( )

1 1 t adj A

A

A   

EJEMPLO 9. Cálculo de la inversa de la matriz

1 2 1

3 3 4

2 5 6

A

 

 

   

   

1 2 1

3 3 4 18 16 15 6 20 36 9 0

2 5 6

A          



Por tanto al ser distinto de cero el determinante existe la matriz inversa.

1 3 2

2 3 5

1 4 6

t A

   

 

 

 

 

3 5 2 5 2 3

4 6 1 6 1 4

2 7 5

3 2 1 2 1 3

( ) 10 8 7

4 6 1 6 1 4

9 9 9

3 2 1 2 1 3

3 5 2 5 2 3

t adj A

 

    

 

                             

         

 

1

2 7 5

9 9 9

1 10 8 7

9 9 9

2 7 5

1 1

( ) 10 8 7

det( ) 9

9 9 9

1 1 1

t A adj A

A

A



 

 

  

 

     

    

 

 

 

    

8

( ) ( 1) det( ) i j

ij Adj A A     siendo ij A  la matriz resultante de eliminar la fila i y la columna j

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6. EXPRESIONES Y ECUACIONES MATRICIALES

6.1. Expresión matricial

Toda expresión en la que intervengan matrices cuyos órdenes sean conformes con las

operaciones a las que van sometidas, es una expresión matricial. Tales expresiones a veces

pueden simplificarse. Para ello se debe tener muy en cuenta la no conmutatividad del producto

y