Sistemas de Ecuaciones Diferenciales.

...

[pic 28]

También se puede traducir al lenguaje de operadores poniendo L(x(t)) := x 0 (t)−Ax(t), con lo que el sistema se expresa igual que en el caso general

L(x(t)) = f(t)

El sistema es un sistema lineal homogéneo si f(t) = 0; esto es,

L(x(t)) = 0

Los resultados expuestos para el caso general siguen siendo válidos, por supuesto. En concreto, la solución general de un sistema de n ecuaciones diferenciales de primer orden lineal con coeficientes constantes está dada por x(t) = cp. (t)+Ker L donde xP (t) es una solución particular cualquiera del sistema y Ker L designa la solución general del sistema lineal homogéneo asociado. Como, además, para el operador L del sistema se tiene que dim (Ker L) = n, dicha solución general ser ‘a del tipo

x(t) = xH(t) + xP (t) = λ1x 1 (t) + . . . + λnx n (t) + xP (t)

En general la forma más sencilla de integrar un sistema de esta ´índole suele ser convertirlo en una sola ecuación de orden superior, que ser ‘a necesariamente lineal con coeficientes constantes.

Existen métodos para calcular una matriz fundamental (esto es, un sistema fundamental de soluciones) del sistema homogéneo asociado a un sistema lineal con coeficientes constantes. De aquí se obtiene directamente la solución general del sistema homogéneo y, por aplicación del método de variación de las constantes, una solución particular del sistema completo. Estudiaremos dichos métodos a continuación.

Ejercicios

- Exprese en notación matricial los sistemas siguientes:

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La parte izquierda del sistema puede escribirse como el producto matricial de la matriz operacional por el vector solución:

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Observe que la matriz del sistema contiene operadores diferenciales. Por esta razón se le llama matriz operacional, ya que puede interpretarse como un operador que opera sobre un vector cuyos componentes son funciones.

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Al escribir los sistemas en forma matricial en términos de D, notamos que la notación matricial para el caso de sistemas escritos en la forma normal, es distinta. Esto se debe a que para ese caso particular existe notación especial que es la que se estudió en el tema anterior. Note que todos los operadores diferenciales que aparecen en las matrices de los ejemplos anteriores, son de coeficientes constantes. Ahora que sabemos como expresar un sistema lineal con coeficientes constantes en términos del operador diferencial D, y en forma matricial, comenzaremos a resolver sistemas de ecuaciones diferenciales. Primero veremos el caso homogéneo.

Para la resolución de los sistemas usaremos el método de eliminación. El método opera al revés que en el caso del tema anterior en donde se expresaba una ecuación diferencial de orden n como un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden con n ecuaciones. Para ilustrar el método de eliminación considere el siguiente ejemplo.

2) Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales por el método de eliminación.

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Se trata de un sistema lineal homogéneo de primer orden con coeficientes constantes. Para empezar a resolverlo primero expresamos el sistema en términos del operador diferencial “D”.

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Ahora aplicamos la eliminación en forma parecida a como se resuelve un sistema de ecuaciones algebraicas. En este caso podemos eliminar a la función y(t) al multiplicar la primera ecuación por el operador “D”, la segunda por -2 y luego sumarlas:

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La ecuación que resulta es una ecuación diferencial lineal homogénea de coeficientes constantes en términos de la función x(t):

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La ecuación auxiliar de esta ecuación es:

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Las raíces son: 3, 2 λ 1= λ 2= − y por lo tanto la función x(t) es:

[pic 37]

Ahora necesitamos encontrar la función y(t) para conocer la solución completa del sistema. Para encontrar a y(t) tenemos dos opciones. La primera es resolver al sistema y eliminar a x(t) para resolver a y(t):

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La ecuación diferencial resultante es:

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Su ecuación auxiliar es:

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Las raíces son: 3, 2 λ 1= λ 2= − por lo tanto la función y(t) es:

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Las constantes C3 y C4 no necesariamente son iguales a C1 y C2 encontradas para la función x(t). Sin embargo, dado que se trata de un sistema con dos ecuaciones diferenciales de primer orden, se tendrá una constante por cada ecuación. Para encontrar la relación entre las constantes C1 C2, C3, C4, sustituimos las funciones x(t) y y(t) encontradas en una de las ecuaciones del sistema. Tomemos la ecuación dos ya que es la más sencilla:

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Puesto que las funciones son linealmente independientes en cualquier intervalo (ya que son los elementos de un conjunto fundamental de soluciones de una ED lineal homogénea de coeficientes constantes), entonces la combinación lineal expresada en (A) debe cumplirse solo para el caso en que las constantes sean todas cero, esto es,[pic 43]

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Entonces la función y(t) es:

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La solución del sistema

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El vector X es la solución general del sistema, en el sentido en que cualquier solución del sistema puede expresarse de esta forma. Una forma más sencilla de encontrar la función y(t) una vez conocida x(t), es utilizar el sistema para obtener una ecuación para y(t) en términos de x(t) y x’(t).