APLICACIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES.

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Temperatura de los materiales

En un cuerpo que se está enfriando la tasa de cambio de temperatura con respecto al tiempo es proporcional a la diferencia entre la temperatura del cuerpo y la temperatura del medio que lo rodea. Esto es:[pic 36][pic 37][pic 38][pic 39]

[pic 40]

Dónde es una constante de proporcionalidad. Integrando esta ecuación con la condición que la temperatura ambiente es constante.[pic 41]

[pic 42]

Obtenemos la relación lineal siguiente:

[pic 43]

Despejamos T:

[pic 44]

Ejemplo. Una varilla de acero corrugado a una temperatura de 100°F se pone en un cuarto a una temperatura constante 0°F. Después de 20 minutos la temperatura de la barra es de 50°F.

- ¿Cuánto tiempo tardara la barra para llegar a una temperatura de 25°F?

- ¿Cuál será la temperatura de la barra después de 10 minutos?

Solución.

Sea la temperatura de la barra al tiempo , luego y . La temperatura del medio ambiente, es . Nótese que es la velocidad a la que se enfría la barra. Aplicamos la ley de enfriamiento de Newton y obtenemos lo siguiente:[pic 45][pic 46][pic 47][pic 48][pic 49][pic 50][pic 51]

[pic 52]

Solución general

[pic 53]

Como sabemos que la entonces tenemos la siguiente ecuación:[pic 54]

[pic 55]

Cuando obtenemos lo siguiente[pic 56]

[pic 57]

[pic 58]

[pic 59]

Ya que tenemos el valor de la constante la ecuación diferencial es:

[pic 60]

Teniendo la ecuación ya resuelta podemos resolver las incógnitas que nos pide el problema.

- El tiempo necesario para que la temperatura de la barra sea de :[pic 61]

[pic 62]

[pic 63]

La barra tarda 40 minutos en alcanzar una temperatura de 25.[pic 64]

- La temperatura de la barra después de 10 minutos es:

[pic 65]

[pic 66]

La temperatura de la barra después de 10 minutos en el cuarto es aproximadamente 70.[pic 67]

CONCLUSION

Mediante las ecuaciones diferenciales podemos hallar el valor de incógnitas que se presenten en algún trabajo. Esto nos sirve para determinar que los valores correspondientes de las incógnitas sean los adecuados para que el trabajo a realizar cumpla con las características deseadas. Para que esto sea posible deben de haber 2 variables, en la cual los valores de una (variable independiente) tengan efectos sobre la otra (variable dependiente). En este trabajo se tomó en cuenta la existencia de solo una razón de cambio (solo una derivada).

En cuanto al ejemplo de la varilla, puede que se considere innecesario ya que solo nos ayuda a determinar cuánto tiempo se requiere para que las varillas estén listas para la construcción y las empresas siempre las venden cuando estas ya lo están, así que no tiene gran impacto en una construcción. Sin embargo, podemos emplear el mismo método para determinar cuánto tardaría el concreto utilizado en los cimientos en endurecer