Ecuaciones Diferenciales Tema: Aplicaciones
Enviado por Kate • 1 de Mayo de 2018 • 1.509 Palabras (7 Páginas) • 441 Visitas
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proporcional a la velocidad y que el resorte obedece a la ley de Hooke
esto no permite escribir por aplicación de la Segunda Ley de Newton:
[pic 39]
donde [pic 40] constante de fricción o coeficiente de amortiguamiento de donde obtenemos
[pic 41]
La ecuación auxiliar de esta EDOLH es [pic 42] y tiene raíces
[pic 43] y [pic 44]
Distinguiéndose la siguiente casuística:
● Cuando [pic 45] que corresponde a raíces reales y distintas la soluciones serán de la forma
[pic 46]
a este movimiento se le llama sobreamortiguado , en este caso se prueba
que las raíces son negativas y por lo tanto [pic 47], es decir a la larga el cuerpo quedará en reposo en la posición de equilibrio.
● Cuando [pic 48] este caso corresponde a raíces reales e iguales[pic 49] la soluciones son de la forma
[pic 50][pic 51]
a este movimiento se le llama críticamente amortiguado, también en este caso se tiene que
[pic 52], pudiendo cruzar o no la posición de equilibrio (y en cuyo caso solo lo hará una vez) esto dependerá de las condiciones iniciales.
● Cuando[pic 53] que corresponde a raíces complejas conjugadas
[pic 54]
las soluciones son de la forma
[pic 55]
A este movimiento se le llama subamortiguado.
Veamos algunos ejemplos
Ejemplo 1
Un cuerpo cuyo peso es de 16 libras fuerza se suspende de un resorte produciendo un alargamiento de [pic 56] pies. En el instante [pic 57] el resorte con el objeto acoplado se introduce en un recipiente lleno de un líquido viscoso que ejerce una fuerza amortiguadora al movimiento del cuerpo que es numéricamente igual a 3 veces la velocidad instantánea. Determine la posición [pic 58](en pies) del cuerpo en función del tiempo (en segundos), sí [pic 59].
Solución:
Tenemos que [pic 60][pic 61] y el coeficiente de amortiguación es [pic 62].
Luego, si [pic 63]es la posición del objeto (en metros) de masa m en el instante t (en segundos) la ecuación diferencial que modela el problema es
[pic 64]
El PVI es
[pic 65]
Siendo la ecuación auxiliar [pic 66]
la solución general de la EDOLH resulta [pic 67].
La condición inicial [pic 68] proporciona [pic 69].
Además,
[pic 70]
Luego [pic 71]
es la posición del cuerpo en todo instante de tiempo.
Ejemplo 2
Un resorte tiene una longitud natural de 1m y constante de elasticidad [pic 72]N/m, se suspende un cuerpo de masa [pic 73] de dicho resorte y el sistema se sumerge dentro de un recipiente lleno de un líquido viscoso que ejerce una fuerza de amortiguación proporcional a la velocidad con constante de proporcionalidad [pic 74]. En el instante [pic 75] el resorte se comprime una longitud igual a la mitad de su longitud natural y se suelta., determine la ecuación de movimiento del objeto.
Solución:
Si[pic 76] representa la posición (medida en pies) del cuerpo en el instante t (en segundos), entonces el PVI que modela la situación descrita es:
[pic 77]
La ecuación auxiliar es [pic 78]. Por lo tanto, la solución de la EDOLH es
[pic 79]
Ejemplo 3
Un objeto de masa m se suspende de un resorte cuya constante de elasticidad es de [pic 80] El resorte (con el objeto acoplado) se coloca en un medio que ofrece una fuerza de amortiguamiento numéricamente igual a 4 veces la velocidad instantánea., determine los valores de m para que el movimiento libre posterior no sea subamortiguado.
Solución:
Sea [pic 81]es la posición del objeto (en metros) de masa m en el instante t (en segundos).
La EDO que se obtiene con los datos es [pic 82]
La ecuación auxiliar es: [pic 83]
Para que el movimiento sea no oscilatorio las raíces deben ser reales y esto ocurre si
[pic 84]
Luego los valores de m son tales que [pic 85].
Actividad
1. Un objeto de [pic 86] de masa se acopla a un resorte y lo estira hasta una posición de equilibrio de [pic 87]más que su longitud natural. Si luego el resorte (con el objeto acoplado) se estira hasta medir [pic 88]más que su longitud en el equilibrio y se suelta desde el reposo, encuentre la posición del objeto x (t) (en metros) en cualquier tiempo t (en segundos). Considere que el resorte se encuentra en un medio que ofrece una resistencia (en Newton) numéricamente igual a 140 veces la velocidad instantánea.
Nota: Considere la dirección positiva hacia abajo y [pic 89]
Solución
2. Un cuerpo cuya masa es de 2kg se sujeta al extremo de un resorte cuya constante elástica es de[pic 90]. El sistema masa-resorte se sumerge en un medio que ofrece una fuerza de amortiguamiento igual a 3 veces la quinta potencia de la velocidad instantánea. Si el cuerpo se libera desde un punto situado a [pic 91] por arriba
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