APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

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- Semivida:

En física se llama “vida media”a una medida de la estabilidad de una sustancia radiactiva. La semivida es simplemente el tiempo necesario para que se desintegren la mitad de los átomos en una cantidad inicial A0. Cuanto más larga es la semivida de una sustancia, tanto más estable es.

Ejemplo determinación edad por Carbono14

Se ha encontrado que un hueso fosilizado contiene de la cantidad original de C-14. Determinar la edad del fósil.[pic 12]

Solución:

= kA[pic 13]

A(0) =A0

A(t) =A0ekt

Cuando t= 5600 años, A(t) = A0 /2, de lo cual es posible determinar el valor de k, como sigue:

A0/2=[pic 14]

5600k = ln () = - ln2[pic 15]

k = -= -0,00012378[pic 16]

Por lo tanto A(t)=A0[pic 17]

Cuando A(t) = A0/1000 se tiene que

A0/1000 =A0[pic 18]

Consecuentemente, -0,00012378t = ln () = - ln1000[pic 19]

t =~ 55800 años[pic 20]

Cuando un organismo muere, la absorción de C-14 cesa. Así comparando la proporción de C-14 que hay en un fósil con la proporción constante encontrada en la atmósfera es posible obtener una estimación razonable de su edad. El método se basa en que la “semivida” del C-14 radiactivo es de aproximadamente 5600 años. Por su trabajo, Libby ganó en 1960 el premio Nobel de química. El método de Libby ha sido utilizado para determinar la antigüedad del mobiliario de madera hallado en las tumbas egipcias, así como la de las envolturas de lienzo de los manuscritos del Mar Muerto.

- Circuito eléctrico L-R en serie:

La segunda Ley de Kirchoff dice que en un circuito en serie que contiene sólo una resistencia y una inductancia, la suma de las caídas de voltaje a través del inductor (L()) y del resistor (iR) es igual a la tensión (E(t)) aplicada al circuito.[pic 21]

Se obtiene así la ecuación diferencial lineal para la corriente i(t),

L+ Ri =E(t), (3)[pic 22]

En donde L y R son constantes conocidas como inductancia y resistencia, respectivamente. A veces, a la corriente i(t) se le llama respuesta del sistema.

Ejemplo determinación edad por Carbono14

Una batería de 12V se conecta a un circuito simple en serie en el cual la inductancia es ½ H, y la resistencia, es de 10ᾨ. Determinar la corriente i si la intensidad inicial es cero.

Solución:

De (3) vemos que se debe resolver

+ 10i = 12[pic 23]

Sujeta a i(0) =0. Primero se debe multiplicar la ecuación diferencial por 2 y dedúzcase que el factor integrante es . Luego se obtiene así:[pic 24]

[i] = 24[pic 25][pic 26][pic 27]

= + c[pic 28][pic 29]

i = + c[pic 30][pic 31]

Ahora bien, i(0)=0 implica 0= + c, o bien c= -6/5. Por lo tanto, la respuesta es[pic 32]

I(t)= - [pic 33][pic 34]

Que resulta en amperes (A)

CONCLUSIONES

- En el estudio matemático del aumento de población desintegración radiactiva, se encuentran ecuaciones diferenciales que son aplicables al estudio continuo de la naturaleza y al desarrollo de la humanidad para tratar de explicar y entender los fenómenos matemáticos que nos rodean diariamente.

TRABAJO DE INVESTIGACIÓN

APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

JAVIER FERNANDO DIAZ

JAVIER SÁNCHEZ QUINTERO

ECUACIONES DIFERENCIALES

UNIVERSIDAD MANUELA BELTRÁN