Historia de las ecuaciones diferenciales Ecuaciones diferenciales de 1er orden

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En un artículo de 1739 “De novo genere oscillationum” Euler se ocupó de la ecuación diferencial[pic 7]

y descubrió el fenómeno de la resonancia mecánica.

[pic 8]

En 1734, Euler afirmaba que podía resolver la ecuación que surgió tras estudiar el problema de desplazamiento transversal de una barra elástica fijado un extremo y libre el otro. En 1734, el único método disponible por Euler fue la utilización de series y obtuvo cuatro series distintas.

Euler desarrolla un método en 1743 para resolver las ecuaciones lineales de orden n de coeficientes constantes. Obtiene la ecuación polinómica 0 = a0 + aλ + a2λ2 + · · · + anλn. Trata por separado cuando esta ecuación tiene raíces simples, múltiples y complejas; con lo que Euler resuelve completamente las ecuaciones lineales homogéneas de coeficientes constantes.

D’Alembert observa que el conocimiento de una solución particular y de la solución general de la homogénea conduce, por adición, a la solución general de la no homogénea. LaGrange estudia cómo obtener soluciones particulares a él se le debe también el método de variación de parámetros.

Sistemas de ecuaciones diferenciales

Los sistemas de ecuaciones diferenciales surgieron en la historia de las matemáticas con la misma intención que las ecuaciones diferenciales ordinarias: Analizar cuantitativamente determinados sistemas físicos, en particular los astronómicos. En el campo de la astronomía los principios físicos (las leyes del movimiento de Newton y la ley de gravitación) estaban claros y los problemas matemáticos eran mucho más profundos. El problema maten ático fundamental al estudiar el movimiento de dos o más cuerpos, moviéndose cada uno bajo la acción gravitatoria de los otros es el de resolver un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias. El primer éxito lo obtuvo Newton en los Principia al demostrar que a partir de sus leyes de movimiento y de la ley de gravitación universal se podían deducir las tres leyes planetarias de Kepler.

El problema de los tres cuerpos sometidos a una acción gravitatoria común fue estudiado intensamente por Euler, Laplace y LaGrange obteniendo solo resultados parciales. Al no obtener métodos generales para resolver los sistemas de ecuaciones diferenciales, los matemáticos se volcaron con los sistemas de ecuaciones lineales de coeficientes constantes. La primera vez que surgió este tipo de sistemas fue al estudiar sistemas de muelles acoplados, a partir de la ley de Hooke. La noción de polinomio característico aparece ya explícitamente en el trabajo de LaGrange sobre sistemas de ecuaciones diferenciales publicado en 1774 y en el trabajo de Laplace en 1775. Por otra parte, Laplace desarrollo un método alternativo para hallar la solución de tales sistemas. En el famoso ensayo Theorie analytique des probabilites, publicado en 1812, Laplace presento lo que ahora se conoce como la transformada de Laplace para encontrar la solución de ecuaciones diferenciales lineales de coeficientes constantes. Esta transformada sirve también para encontrar la solución de los sistemas lineales de ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes.

Desarrollos posteriores

A principios del siglo XIX se desarrolló una fase en la que se trataba de demostrar algunos hechos dados por validos en el siglo anterior. En 1820 Cauchy probo la existencia de soluciones de la ecuación diferencial y0 = f(t, y) bajo ciertas condiciones. En 1890 Picard estableció un método de aproximaciones sucesivas que permite establecer con precisión el teorema de existencia y unicidad de las ecuaciones diferenciales de orden n. Posteriormente, Cauchy, al tratar de demostrar el mismo teorema para los sistemas de ecuaciones diferenciales, introdujo la noticia ´on vectorial que todavía se utiliza hoy en día. Generalización que, utilizando los conceptos matriciales introducidos por Cayley a mediados del siglo XIX, ayudó a Jacobi a resolver completamente los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales de coeficientes constantes donde la matriz del sistema es diagonalizable. Posteriormente Jordan introdujo lo que hoy se conoce como la forma canónica de Jordan precisamente para resolver los sistemas lineales de ecuaciones donde la matriz no es diagonalizable. Las investigaciones de Poincaré sobre la estabilidad y periodicidad de las soluciones del sistema solar le condujeron al inicio de la teoría de las ecuaciones diferenciales no lineales. Obtuvo a finales del siglo XIX una serie de resultados de índole cualitativo que fueron mejorados por Bendixson y por Liapunov.

Referencias: personales.upv.es/jbenitez/cajon_sastre/histed.pdf