Ecuaciones diferenciales.

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Transformada de Laplace es un tipo de transformada integral frecuentemente usada para la resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias. La transformada de Laplace de una función f(t) definida (en ecuaciones diferenciales, en análisis matemático o en análisis funcional).

- Diagrama de Bloques

La ecuación diferencial usada es la siguiente:

[pic 37]

Es la misma que la del proyecto, solo que por cuestiones de la simulación se usan las variables reales que intervienen, es decir no se usan sustituciones.

Para el primer ensayo hemos tomado los siguientes valores constantes y con condiciones iniciales de los integradores en 0, además el “source” usado es en este caso el bloque seno:

(constante de fricción viscosa en N.m/(rad/s))[pic 38]

(masa, en kilogramos)[pic 39]

(gravedad en m/s2)[pic 40]

(longitud del péndulo en m)[pic 41]

(desplazamiento de la fuerza en m)[pic 42]

(velocidad angular de la fuerza excitadora en rad/s)[pic 43]

(tiempo en segundos)[pic 44]

La siguiente imagen muestra el diagrama en simulink usado en el que constan cada una de las variables antes mencionadas pero con sus valores constantes:

[pic 45]

Luego de ejecutar el sistema, se obtiene la siguiente gráfica:

[pic 46]

La curva de azul representa la fuerza excitadora del sistema, tiene esa forma ya que es constante, y la curva de color verde es la que corresponde al péndulo y como se puede distinguir hay una clara modificación espontánea de posición, desde el reposo, la que poco a poco toma una forma constante, ya que el péndulo continuará oscilando después de los 30 segundos en que actúa la fuerza excitadora, el tiempo para la simulación se la cambió a 60, es para observar mejor el comportamiento del sistema.

En este nuevo ensayo, los valores se mantendrán constantes, lo que cambiaremos es el bloque de entrada “source”, en este caso usaremos el bloque “step”, estos son los resultados obtenidos:

[pic 47]

[pic 48]

De igual forma la línea azul representa la fuerza excitadora, que de igual forma permanece constante, en cambio se aprecia de mejor manera la modificación de posición del péndulo, el cual después de un cambio repentino toma una forma constante oscilante.

Ahora en este tercer ensayo tomamos como bloque inicial el bloque “ramp”, estos son los resultados:

[pic 49]

[pic 50]

Igual que en los casos anteriores la fuerza excitadora está representada por la curva azul, la que nos muestra un valor constante ascendente, que es el tipo de curva del que nos provee el bloque “ramp”, el movimiento del péndulo es de tipo constante en el tiempo, parte de cero por las condiciones iniciales y aunque no es muy perceptible en el principio se observa un cambio desde el reposo, ese cambio repentino es el cambio de posición del reposo hasta tomar la forma constante por la oscilaciones.

- Diseño Experimental

Integradores

Los integradores nos permiten modelar sistemas dinámicos lineales y no lineales descritos mediante un modelo en ecuaciones diferenciales. El hecho de que los sistemas sean representados mediante ecuaciones diferenciales implica que será necesario integrar dichas ecuaciones para poder simular cuál será la evolución temporal del sistema. simulink ofrece una herramienta de integraci´on numérica que incluye varios métodos de integración. Esto permite integrar señales temporales, independientemente de que el sistema sea lineal o no.

Fuentes y sumideros

En la biblioteca de bloques de simulink existe un apartado que ya se ha citado anteriormente, se trata de las “fuentes” (Sources). Los elementos de este apartado son, esencialmente, generadores de señales; entre ellos tenemos señal de valor constante (Constant), señal escalón (Step), señal rampa (Ramp), señales senoidales (Sine Wave) y muchas otras. También existe un elemento, denominado Clock, que proporciona un vector con los instantes de simulación. En el otro extremo, tenemos elementos que son “sumideros” de señales, es decir, que sólo reciben señales, sin producir ninguna salida. Estos elementos se encuentran en el apartado Sinks. (2014)

Características del Ordenador:

- Edición de Windows: Windows 7 Home Basic

Sistema:

- Procesador: Intel® Core™ i3-2330M CPU @ 2.20GHz 2:20 GHz

- Memoria instalada (RAM): 4,00 GB

- Tipo de sistema: Sistema operático de 64 bits

- Marca: HP.

- Modelo: Hp Pavilion G4 Notebook Pc

Versión de MATLAB: MATLAB R2014a

- Resultados y Discusión

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- Conclusiones y Recomendaciones

Después de la fabricación de nuestro hardware se cumple en parte nuestros objetivos, debido al problema de saturación de nuestros dispositivos físicos, por lo que se hace necesaria la inclusión de la dinámica de los mismos para futuras mejora al igual de la delimitación de nuestra señal de control, puesto que todo dispositivo físico posee entradas y salidas acotadas.

Como recomendación final, para futuras mejoras al proyecto se hace necesaria la obtención de ganancias significativas para la retroalimentación de estados medibles para zonas de baja frecuencia para lograr disminuir los efectos de los disturbios internos como externos. No obstante para regiones de alta frecuencia debe atenuarse la ganancia lo más rápido posible a fin de reducir los efectos

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