Ecuaciones diferenciales de 2do grado

...

Entonces se concluye que la hora que murió fue las , ya que [pic 67][pic 68]

- Modelo de Población: ¿Cómo predecir crecimiento ó decrecimiento de una población? El crecimiento o decaimiento de una población es proporcional a la cantidad presente.

La cantidad de la población en el instante .[pic 69][pic 70]

Es proporcional a la cantidad de población [pic 71]

El Modelo es: : constante de proporcionalidad.[pic 72][pic 73]

Resolviendo la ecuación separable, integrando se obtiene [pic 74][pic 75]

[pic 76]

Ejemplo: La población de una comunidad crece a razón proporcional a la población, en cualquier momento su población inicial es de y aumenta en 10 años ¿Cuál será la población en 30 años?[pic 77][pic 78][pic 79]

Cuando [pic 80]

[pic 81]

[pic 82]

Despejado se tiene , luego es decir cuando ,la cantidad de población pasado 30 años es de 6756 personas.[pic 83][pic 84][pic 85][pic 86][pic 87]

- Función Logística: La función logística es modelada mediante la ecuación cuando y .[pic 88][pic 89][pic 90]

Ejemplo: Supóngase que el número máximo de socios en un club nuevo será de 800 personas, hace un año el número el número inicial de socios era de 50 pero ahora es de 200. Si el número de socios crece como una función logística. Cuántos socios habrá dentro de 3 años.

Solución:

[pic 91]

[pic 92]

Reemplazando en la ecuación de la función logística se tiene:

Cuando

el valor de corresponde a [pic 93][pic 94][pic 95][pic 96][pic 97]

[pic 98]

[pic 99]

- Problemas de Mezclas: El mezclado de dos soluciones de diferente concentración da lugar a una ecuación diferencial de primer orden para la cantidad de sal contenida en la mezcla. Si denota la cantidad de sal (medida en libras) en el tanque en el momento , entonces la rapidez a la que cambia es una rapidez neta:[pic 100][pic 101][pic 102]

[pic 103]

Ejemplo: Supóngase que un gran tanque de mezclado contiene inicialmente 300 galones de salmuera, otra solución de salmuera se bombea hacia el tanque a una rapidez de 3 galones por minuto, la concentración de la sal en este flujo de entrada es 2 libras por galón. Cuando la solución en el tanque está bien agitada. Se bomba a la misma rapidez que la solución entrante. Si al inicio se disolvieran 50 libras de sal en los 300 galones, cuánta sal se encuentra en el tanque después de un tiempo largo.

[pic 104]

Entonces la rapidez neta está dada como:[pic 105]

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Condición inicial, resolviendo la ecuación diferencial se obtiene [pic 107][pic 108]

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Se observa que cuando .[pic 110][pic 111]

- Vida Media del Plutonio: Un reactor autorregenarador convierte el uranio 238 relativamente estable en el isótopo plutonio 239. Después de 15 años se determina que se desintegró 0.043% de la cantidad inicial de plutonio. Calcule la vida media de este isótopo si la rapidez de desintegración es proporcional a la cantidad presente.[pic 112]

Solución: Sea la cantidad de plutonio presente en el tiempo . El modelo correspondiente es el de crecimiento y decaimiento [pic 113][pic 114][pic 115]

[pic 116]

Si 0,043% de los átomos de se ha desintegrado, entonces aún queda 99,957% de la sustancia. Para hallar la constante de decaimiento , se utiliza 0,99957 es decir,[pic 117][pic 118][pic 119]

[pic 120]

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Por consiguiente, ahora la vida media es [pic 122][pic 123]

años[pic 124]

APLICACIONES TEORICO – PRÁCTICA

Resuelva los siguientes problemas

- La población de un pueblo crece a una tasa proporcional a la población presente en el tiempo . La población inicial de 500 se incrementa 15% en diez años. Cuál será la población en 30 años? Qué tan rápido está creciendo la población en ?.[pic 125][pic 126]

- La cantidad de bacterias de un cultivo crece en un instante cualquiera con una rapidez proporcional a la cantidad de bacterias que hay en ese instante, después de 2 horas se observa que hay 700 bacterias y que al cabo de 10 horas hay 4000 ¿Cuál es el número inicial de bacterias?

- A un circuito RC en serie se le aplica una tensión de 200 voltios, la resistencia es de 1000 , la capacitancia de Faradios, halle la carga en el capacitor si determine la carga y la corriente para segundos y la carga cuando t tiende a infinito.[pic 127][pic 128][pic 129][pic 130]

- La población de una pequeña ciudad crece en un instante cualquiera con una rapidez proporcional a la cantidad de habitantes presentes en dicho instante, su población inicial de 900 aumenta 25 % en 10 años ¿Cuál será la población dentro de 30 años? ¿Y después de cuantos años habrá 270000 habitantes?

- La cantidad de bacterias de un cultivo crece en un instante cualquiera con una rapidez proporcional a la cantidad de bacterias que haya en dicho instante después de 3 horas se observa que hay 600 bacterias y que al cabo de 10 horas hay 2.800 ¿Cual es el número inicial de bacterias?

- La sangre conduce un medicamento a un órgano a razón de y sale con la misma razón. El órgano tiene un volumen líquido de . Si la concentración del medicamento en la sangre que entra al órgano es de , ¿Cuál es la concentración del medicamente en el órgano en el instante , si inicialmente no había rastros de dicho medicamento? ¿En qué momento llegará la concentración del medicamento en el órgano a .[pic 131][pic 132][pic