ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCOGNITAS APLICANDO EL MÉTODO DE IGUALACIÓN EN DONDE UTILIZAREMOS DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL (FACTOR COMÚN) Y BINOMIO POR TÉRMINO COMÚN

...

-5y = -15

[pic 2]

(5)[pic 3]

Sustituyendo (5) en (3) (da el mismo resultado si sustituimos en (4)):

x = 8 -2y

x = 8 -2(3)

x = 8 – 6

x = 2

De esta manera se obtiene el mismo resultado que utilizando los otros métodos.

Ejemplo 2:

2x + 3y = 23 (1)

5x - 2y = 10 (2)

Se va a eliminar x:

- Despéjese el valor de x en (1) y en (2); se tiene:

[pic 4]

[pic 5]

- Iguálense las dos expresiones que representan el valor de x:

[pic 6]

Dele forma entera, o sea, quítele los denominadores, u luego resuélvalo:

115 -15y = 20 + 4y

-19 = -95

y = 5

- Sustituir en (3) o en (4) el valor hallado para y:

[pic 7]

[pic 8]

[pic 9]

[pic 10]

- FACTORIZACIÓN

Es el proceso de encontrar dos o más expresiones cuyo producto sea igual a una expresión dada; es decir, consiste en transformar a dicho polinomio como el producto de dos o más factores.

Factorizar una expresión algebraica es hallar dos o más factores cuyo producto es igual a la expresión propuesta.

La factorización puede considerarse como la operación inversa a la multiplicación, pues el propósito de ésta última es hallar el producto de dos o más factores; mientras que en la factorización, se buscan los factores de un producto dado.

Se llaman factores o divisores de una expresión algebraica, a los términos que multiplicados entre sí dan como producto la primera expresión, (MURILLO, SOTO, & ARAYA, 2003).

Factorización

[pic 11]

[pic 12]

[pic 13]

Multiplicación

Al factorizar una expresión, escribimos la expresión como un producto de sus factores. Supongamos que tenemos dos números 3 y 5 y se pide que los multipliquemos, escribiremos 3 x 5 = 15. En el proceso inverso, tenemos el producto 15 y se nos pide que lo factoricemos; entonces tendremos 15 = 3 x 5.

Al factorizar el número 20, tendremos 20 = 4 x 5 ó 20 = 10 x 2.

Advierte que 20 = 4 x 5 y 20 = 10 x 2 no están factorizados por completo. Contienen factores que no son números primos. Los primeros números primos son 2, 3, 5, 7, 11, etc. Puesto que ninguna de esas factorizaciones está completa, notamos que en la primera factorización 4=(2x2), de modo que 20=(2x2)x5 mientras que la segunda factorización 10=(2x5), de modo que 20=(2x5)x2 , en cualquier caso la factorización completa para 20 es 2x2x5.

De ahora en adelante cuando digamos factorizar un número, queremos decir factorizarlo por completo. Además se supone que los factores numéricos son números primos. De esta manera no factorizamos 20 como: [pic 14]

Con estos preliminares fuera del camino, ahora podemos factorizar algunas expresiones algebraicas, (MURILLO, SOTO, & ARAYA, 2003).

- Factor común

Factorizar una expresión algebraica es hallar dos o más factores cuyo producto es igual a la expresión propuesta.

Dados dos o más factores, se obtiene su producto multiplicándolos. Inversamente, dado un producto, se pueden obtener sus factores; a esta operación se la llama factorización.

Se escribe el factor común (F.C.) como un coeficiente de un paréntesis y dentro del mismo se colocan los coeficientes que son el resultado de dividir cada término del polinomio por el F.C.

Para comenzar, comparemos las multiplicaciones con los factores y veamos si podemos descubrir un patrón.

Usan la propiedad distributiva. Cuando multiplicamos, tenemos que: . Cuando factorizamos .[pic 15][pic 16]

Para factorizar un binomio, debemos hallar un factor (en este caso a) que sea común a todos los términos. El primer paso para tener una expresión completamente factorizada es seleccionar el máximo factor común, . [pic 17]

Aquí tenemos como hacerlo:

- Máximo factor común (MFC)

El término , es el MFC de un polinomio sí:[pic 18]

- a es el máximo entero que divide cada uno de los coeficientes del polinomio, y

- n es el mínimo exponente de x en todos los términos del polinomio.

De este modo para factorizar , podríamos escribir . [pic 19][pic 20]

Pero no está factorizado por completo por que puede factorizarse aún más. Aquí el mayor entero que divide a 16 y 8 es 6, y el mínimo exponente de x en todos los términos es . De esta manera la factorización completa es . Donde es el MFC.[pic 21][pic 22][pic 23][pic 24]

- Factor común por agrupación de términos

Podemos utilizar la propiedad distributiva para factorizar algunos polinomios con cuatro términos. Consideremos [pic 25]. No hay ningún factor diferente de 1. Sin embargo podemos factorizar a [pic 26] y [pic 27] por separado:

[pic 28] [pic 29]

Por lo tanto [pic 30]. Podemos utilizar la propiedad distributiva una vez más y sacamos el factor común: x+1

[pic 31]

Este método se llama factorización