Problemario resuelto ecuaciones diferenciales

...

T(0)=100°F ; T(20)=55°F ; T(∞)=25°

[pic 106]

[pic 107]

[pic 108]

[pic 109]

[pic 110]

[pic 111]

[pic 112]

si entonces [pic 113][pic 114][pic 115]

Dándonos como solución general ahora sustituyendo el valor de temperatura inicial en la ecuación general obtendremos nuestra solución particular[pic 116]

[pic 117]

[pic 118]

[pic 119]

y reemplazando el valor obtenido tendremos la solución ahora tendremos que encontrar el valor de “k” [pic 120][pic 121]

Dándonos y ahora se integra obteniendo y siguiendo con el procedimiento [pic 122][pic 123][pic 124][pic 125][pic 126]

Y obteniendo como valor de ahora sustituimos en la ecuación.[pic 127]

[pic 128]

Ahora sabremos cual es la temperatura del cuerpo a los diez minutos [pic 129]

entonces integramos y queda [pic 130][pic 131]

[pic 132][pic 133]

Y despejando “t” t=6.97°F la temperatura a los 10 minutos[pic 134][pic 135]

Y para saber el tiempo que tardara en llegar a los 25°F en t solo sustituimos

T=48hrs 51min tardara en alcanzar los 25°F[pic 136]

2) Determine si las funciones son linealmente dependientes o independientes en [pic 137]

[pic 138]

[pic 139]

[pic 140]

Entonces w≠0 dando como funciones linealmente dependientes.

[pic 141]

[pic 142]

[pic 143]

[pic 144]

Siendo w=0 entonces son linealmente dependientes.

[pic 145]

[pic 146]

[pic 147]

Entonces las funciones son linealmente independientes.[pic 148]

[pic 149]

[pic 150]

[pic 151]

[pic 152]

Entonces el lo que significa que las funciones son linealmente dependientes[pic 153]

[pic 154]

[pic 155]

[pic 156]

[pic 157]

Donde w≠0 entonces las funciones son linealmente independientes[pic 158]

[pic 159]

[pic 160]

[pic 161]

[pic 162]

[pic 163]

[pic 164]

Siendo w≠0 las funciones son linealmente independientes

[pic 165]

[pic 166]

[pic 167]

[pic 168]

[pic 169]

Entonces las funciones son linealmente independientes.

[pic 170]

[pic 171]

[pic 172]

[pic 173]

[pic 174]

Siendo w≠0 las funciones son linealmente independientes[pic 175]

[pic 176]

[pic 177]

[pic 178]

[pic 179]

[pic 180]

[pic 181]

Y siendo w≠0 son linealmente independientes.

[pic 182]

[pic 183]

[pic 184]

[pic 185]

[pic 186]

[pic 187]

Y con el w≠0 los términos son linealmente independientes

3) Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales homogéneas.

[pic 188]

Ecuación característica[pic 189]

A=1; B=-8 ; C=20

[pic 190][pic 191][pic 192][pic 193][pic 194]

Solución general

[pic 195]

[pic 196]

[pic 197]

(r-4)(r-4) [pic 198][pic 199]

Solución general

[pic 200]

[pic 201]

Ecuación característica[pic 202]

a=16; b=24; c=9

[pic 203][pic 204][pic 205][pic 206][pic 207]

[pic 208]

Quedando [pic 209][pic 210][pic 211][pic 212][pic 213]

Entonces