Ecuaciones diferenciales ordinarias.

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derivadas hasta el orden n, definida en un intervalo, de modo que al reemplazar ésta y sus derivadas en la ecuación la reducen a una identidad.

Ejemplo 3 Verificar que las funciones dadas, definidas en R son soluciones de la EDO dada:

a) y = 1 x4 es una solución de dy = x√y

16 dx

b) y = xex es una solución de y′′ − 2y′ + y = 0

Como vimos en el problema del gas radón la ecuación diferencial de primer orden x′ = kx tiene infinitas soluciones determinadas por una constante arbitraria C ∈ R de la forma

x (t) = Cekt

(recuerde que el valor de la constante k fue determinado a partir de la vida media del material). De hecho k = ...)

Ahora, si se conoce la cantidad inicial del material x (0) = Ce0k, se determina un único valor para dicha constante C, obteniéndose una única solución al problema.

En muchas situaciones nos enfrentaremos a una ecuación diferencial de primer or- den x′ = f (t, x), donde debemos encontrar una solución que satisfaga una condición del tipo

x (t0) = x0

que indica que la función x debe tener un valor determinado, x0, en el instante t0.

Es decir resolver el problema

dx

= f (t, x)

dt

x (t0) = x0

llamado problema de valor inicial (PVI) de primer orden.

La condición x (t0) = x0 se llama condición inicial.

Respecto a la existencia y unicidad de soluciones para un PVI se tiene el siguiente

Teorema 4 Sea R una región rectangular del plano de la forma a ≤ t ≤ b , c ≤

x ≤ d que contiene a un punto (t0, x0) en su interior. Si f y ∂f son continuas en

R, entonces existe un intervalo I = ]t0 − h, t0 + h[ , con h > 0, contenido en [a, b]

y una única función t ›→ x (t) definida en I, que es solución del PVI.

Considere por ejemplo el PVI

dx

= t x

dt

x (0) = 0

Se puede verificar que x1 (t) = 1 t4 y x2 (t) = 0 son dos soluciones. Sin embargo,

16

como f (t, x) = t√x verifica que

f (t, x) = t√x y ∂f (t, x) = t

∂x 2√x

son continuas en cualquier rectángulo incluido en el semiplano x > 0, para cualquier punto (t0, x0) con x0 > 0, el PVI

dx

= t x

dt

x (t0) = x0

tiene única solución definida en algún intervalo centrado en t0 (la condición inicial podría ser por ejemplo x (1) = 3)

Ejercicios.-

1. Decida si la función y =

solución de la EDO

2. Considere las funciones

cex

1 + cex

dy dx

, donde c es una constante arbitraria, es

= y (1 − y)

f1 (x) = x2 , x ∈ R

. −x2 si x < 0

f2 (x) =

x2 si x ≥ 0

Decida si alguna de ellas, o ambas, son soluciones de las EDO

xy′ − 2y = 0