Cálculo Diferencial e Integral. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

...

M dx + N dy = 0,

siendo M y N funciones de x e y. De las ecuaciones diferenciales que pertenecen a esta clase, las más comunes pueden dividirse en cuatro tipos.

Tipo I. Ecuaciones con variables separables. Cuando los términos de una ecuación diferencial pueden disponerse de manera que tome la forma

- f(x)dx+ F(y)dy

.siendo f (x) una función de x únicamente y F (y) una función de y únicamente, el procedimiento de resolución se llama de separación de las variables, y la solución se obtiene por integración directa. Así, integrando (1) obtenemos la solución general

- [pic 33] = c

En donde c es una constante arbitraria.

Frecuentemente muchas ecuaciones, que no se dan en la forma sencilla (l) , pueden reducirse a esa forma mediante la siguiente regla para separar las variables.

primer paso . Quitar denominadores; si la ecuación contiene derivadas, se multiplican todos los términos por la diferencial de la variable independiente.

segundo paso . Se sacan las diferenciales como factor común. Si entonces la ecuación toma la forma

XY dx + X' Y' dy = 0 ,

en donde X y X' son funciones de x únicamente y Y e Y' son funciones de y únicamente, puede reducirse a la forma (1) dividiendo todos los términos por X' Y.

tercer paso . Se integra cada parte separadamente, como en (2).

EJEMPLO 1. Resolver la ecuación

[pic 34]

Solución.

Primer paso. (l+x2)xydy= (l + y2)dx.

Segundo paso. (1 + y2) dx – x (1 + x2) y dy = 0.

A fin de separar las variables, dividiremos por x(l + x2) (1 + y2),

lo que da [pic 35]

Tercer paso. [pic 36]

[pic 37]

[pic 38]

[pic 39]

Este resultado puede escribirse en forma mas abreviada si damos otra forma a la constante arbitraria, escribiendo Ln c en vez de –2C. Entonces la solución se convierte en

[pic 40]

luego eliminando logaritmos se tiene

[pic 41]

EJEMPLO 2 Resolver la ecuación

[pic 42]

Solución.

Primer paso. ax dy + 2a ydx = xy dy

Segundo paso. 2 ay dx + x(a – y)dy = 0

A fin de separar las variables, dividiremos por xy. Resultando:

[pic 43]

Tercer paso. [pic 44],

2aLnx + aLny – y = C,

a Ln x2y = C + y,

[pic 45]

Pasando de logaritmos a exponenciales, este resultado puede escribirse en la forma [pic 46]

Representando la constante eC / a por c, obtenemos nuestra solución en la forma [pic 47]

Tipo II. ECUACIONES HOMOGÉNEAS. Se dice que la ecuación diferencial

(A) M dx + N dy = 0

es homogénea cuando M y N son funciones homogéneas de x e y del mismo grado. (**) Tales ecuaciones diferenciales pueden resolverse haciendo la sustitución

(3) y = vx.

Esto nos dará una ecuación diferencial en v y x en la que las variables son separables; luego podremos seguir la regla que se dio para las ecuaciones del tipo I.(variables separables)

** Se dice que una función de x e y es homogénea en las variables si el resultado de reemplazar x e y por λx y λy (siendo λ una constante arbitraria) se reduce a la función primitiva multiplicada por alguna potencia de λ. El exponente de esta potencia de λ se llama el grado de la función primitiva.

En efecto de (A) obtenemos

- [pic 48]

Igualmente, de (3)

- [pic 49]

Empleando la sustitución (3), el segundo miembro de (4) se convierte en una función de v únicamente. Luego, empleando (5) y (3) obtendremos de (4)

(6) [pic 50]

en donde pueden separarse las variables x y v.

EJEMPLO. Resolver la ecuación

[pic 51]

Solución. y2 dx + (x2 – xy)dy = 0.

Aquí M = y2 y N = x2 – xy. Ambas son homogéneas y de segundo grado en x e y. Además, tenemos

[pic 52]

Haciendo la sustitución y = v.x Se obtiene:

[pic 53]

o sea, vdx + x(1-v)dv=0

A fin de separar las variables, dividiremos por vx. Esto da

[pic 54]

[pic 55]

Ln x + Ln v – v = C,

Ln vx = C + v

vx = eC+v = eC . ev. Pero [pic 56]

Luego la solución general es [pic 57]

PROBLEMAS TAREA SEGUNDA PARTE

Halla la solución general de cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales

- (2 + y)dx – (3 – x)dy=0 Sol. (2 + y)(3 – x) = c

- xy dx – (1+x2)dy = 0 c y2 = 1 + x2.

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