UNIDAD VI. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Enviado por mondoro • 7 de Agosto de 2018 • 4.088 Palabras (17 Páginas) • 419 Visitas
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xi = 1.5
yi = 0.3125
f (xi, yi) = f (1.5, 0.3125)
= 0.3125 [(1.5)2 – 1] = 0.390625
yi+1 = 0.3125 + 0.390625 (0.5)
= 0.5078125
xi+1 = xi+ h = 1.5 + 0.5 = 2
Aplicando el mismo procedimiento para h = 0.25 y h = 0.125 se obtiene
Tabla 6.1 Valores de y para distintos valores de h con Euler
h = 0.5
h = 0.25
h = 0.125
x
y
x
y
x
y
0.0
1.0000
0.00
1.0000
0.000
1.0000
0.125
0.8750
0.25
0.7500
0.250
0.7673
0.375
0.6774
0.5
0.5000
0.50
0.5742
0.500
0.6046
0.625
0.5480
0.75
0.4666
0.750
0.5062
0.875
0.4785
1.0
0.3125
1.00
0.4155
1.000
0.4645
1.125
0.4645
1.25
0.4155
1.250
0.4799
1.375
0.5137
1.5
0.3125
1.50
0.4740
1.500
0.5709
1.625
0.6601
1.75
0.6221
1.750
0.7954
1.875
1.0005
2.0
0.5078
2.00
0.9428
2.000
1.3151
6.2.1.2 Método de Heun (Euler-Gauss)
Un método para mejorar la aproximación a la pendiente implica el cálculo de dos derivadas del intervalo, una en el punto inicial y la otra en el punto final. Enseguida se promedian las dos derivadas y se obtiene una aproximación mejorada de la pendiente en el intervalo completo.
En el método el Euler, la pendiente al principio del intervalo es
yi´ = f (xi, yi)
se usa para extrapolar linealmente a yi+1 en xi+1
yi+1 = yi+ f (xi, yi) (Ecuación predictora)h
Pero al final del intervalo se puede calcular una pendiente aproximada
yi+1´ = f (xi+1, yi+1)
Por la tanto se pueden combinar las dos pendientes y obtener una pendiente promedio en el intervalo:
[pic 17]
por lo que
[pic 18] (Ecuación correctora)
Por ello, el método de Heun es un esquema predictor-corrector.
Nótese que la ecuación correctora tiene el término yi+1 a ambos lados de la igualdad, y puede aplicarse para corregir en un esquema iterativo hasta que se obtenga una yi+1 mejorada para una tolerancia preestablecida.
Ejemplo 6.2
Resolver el ejemplo anterior utilizando el método de Heun, y valores de h de 0.5, 0.25 y 0.125.
f (xi, yi) = yi (xi2 - 1)
h = 0.5
xi = 0, yi = 1
Predictor
f (xi, yi) = 1 [02 - 1] = -1
yi+1 = yi+ f (xi, yi) h = 1+ (-1) (0.5) = 0.5
Corrector
xi+1 = 0.5
yi+1´ = f (xi+1, yi+1) = f (0.5, 0.5)
= 0.5 [(0.5)2 – 1] = -0.375
[pic 19]
[pic 20]
Corrector primera iteración
[pic 21]
Corrector segunda
...