Ecuaciones diferenciales de primer orden PROPOSICION ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA
Enviado por monto2435 • 22 de Agosto de 2018 • 947 Palabras (4 Páginas) • 499 Visitas
...
PROPOSICION ENUNCIADO O EXPRESION MATEMATICA
RAZON O EXPLICACION
[pic 33]
La ecuación diferencial que permite encontrar la ley de variación de la cantidad de soluto x(t) en un instante de tiempo t (dado)
[pic 34]
Reemplazo de datos en la ecuación diferencial
[pic 35]
Simplificación de la expresión.
[pic 36]
La ecuación diferencia (2) es de la forma x’+ F(t)x=G(t), usamos para resolverla factor integrante
[pic 37]
Integramos
[pic 38]
Aplicamos propiedades de los logaritmos
[pic 39]
Multiplicamos la ecuación diferencial (2) por el factor integrante
[pic 40]
Multiplicando ambos lados por dt:
[pic 41]
Concepto de derivada de un producto (lado izquierdo)
[pic 42]
Propiedad uniforme, aplicamos integrales de ambos lados
[pic 43]
Integramos aplicando propiedades básicas
[pic 44]
[pic 45]
reemplazamos las condiciones iníciales para calcular C:
[pic 46]
Transposición de términos, aplicando propiedad uniforme
[pic 47]
Simplificación de términos mediante adición
[pic 48]
Reemplazamos el valor de C en (3)
[pic 49]
Propiedad uniforme, multiplicamos la expresión por [pic 50]
[pic 51]
Propiedades de la potenciación y obtención de una expresión para la cantidad de sal en el tanque para cualquier instante
Segunda Actividad colaborativa
EJERCICIO Y SOLUCIÓN PLANTEADA
OBSERVACIONES, ANEXOS, MODIFICACIONES A LA SOLUCIÓN PLANTEADA
En una cafetería se sirve una bebida caliente que se encuentra inicialmente a una temperatura de 90°C, y se enfría hasta 75°C mientras se expone a la temperatura ambiente durante 4 minutos. Si la temperatura ambiente está en 20°C, determinar en qué momento la bebida estará a una temperatura de consumo de 55°C.
Según la Ley de enfriamiento de Newton, la ecuación viene dada como:
[pic 52]
Separando variables se tiene: [pic 53]
Se aplica la integral a ambos lados de la ecuación:
[pic 54]
, según propiedades de los logaritmos: [pic 55][pic 56]
Entonces, , por lo tanto:[pic 57]
[pic 58]
Como [pic 59][pic 60]
Para la bebida tiene , entonces:[pic 61][pic 62]
, por lo tanto, [pic 63][pic 64]
Así, la ecuación de la temperatura ambiente en función del tiempo será:
[pic 65]
Para la bebida tiene , luego:[pic 66][pic 67]
[pic 68]
[pic 69]
[pic 70]
Aplicando logaritmos:
)[pic 71]
[pic 72]
Como en la bebida está en [pic 73][pic 74]
[pic 75]
Por lo tanto,
y simplificando encontramos que: [pic 76][pic 77]
El tiempo aproximado será de: [pic 78]
[pic 79]
[pic 80]
Más bien según propiedad uniforme:
[pic 81]
Según propiedades de los logaritmos , por lo tanto:[pic 82]
[pic 83]
Como [pic 84][pic 85]
Como [pic 86][pic 87]
Para la bebida tiene , entonces:[pic 88][pic 89]
, por lo tanto[pic 90]
, [pic 91]
Así, la ecuación de la temperatura ambiente en función del tiempo será:
[pic 92]
Para la bebida tiene , luego:[pic 93][pic 94]
[pic 95]
[pic 96]
[pic 97]
Aplicando logaritmos:
[pic 98]
[pic 99]
Como en la bebida está en [pic 100][pic 101]
[pic 102]
Por lo tanto,
y simplificando encontramos [pic 103]
que: [pic 104]
...