Ecuaciones Lineales de Primer Orden.

...

De esta forma la resolución de este tipo de ecuaciones se hará según los siguientes pasos:

- Realizar el cambio de variable.

- Resolver la ecuación diferencial en z

- Deshacer el cambio.

Ejemplo 1 –

Resolver la ecuación diferencial

[pic 59]

Solución

[pic 60]

Ejemplo 2 –

Resolver el siguiente problema de valor inicial

[pic 61]

Solución.-

[pic 62]

[pic 63]

[pic 64]

[pic 65]

usando la formula de Leibniz

[pic 66] se tiene

[pic 67]

[pic 68] [pic 69]

Como [pic 70] cambiando variable se tiene [pic 71] solución general

Si [pic 72] entonces [pic 73] [pic 74]

por lo tanto la solución particular es [pic 75]

Ejemplo 3 –

Resolver la ecuación diferencial

[pic 76]

Solución.-

[pic 77]

2.- Ecuación de Ricatti.

Es una ecuación diferencial de la forma

[pic 78] (1)

Sea [pic 79] solución particular de ella conocida.

Hacemos

[pic 80][pic 81]

Ejemplo 1 :

Resolver [pic 82]

Solución

Hacemos

[pic 83]

Observación

Con la sustitución [pic 84] , donde z es función de x, la E.D. de Ricatti se transforma en una E.D. lineal en [pic 85]

De esta forma para resolver este tipo de ecuaciones se procederá según el siguiente método.

- Es necesario el conocimiento previo de una solución de la ecuación.

- Conocida ésta se realiza el cambio de variable mencionado anteriormente.

- Se resuelve la ecuación lineal en z.

- Deshacemos el cambio .

Ejemplo 2 :

Resolver

Solución : Sea [pic 86] . Reemplazando en la E.D. dada, se obtiene:

[pic 87] [pic 88]

[pic 89]

Aplicando fórmula:

[pic 90]

[pic 91]

Ejercicios Propuestos

1.- Resuelva la ecuación diferencial.

[pic 92] Rep: [pic 93]

2.- Encuentre la solución general de la Ecuación Diferencial

[pic 94] Rpta: [pic 95]

3.- Resuelva la ecuación diferencial.

[pic 96] dx Rep: [pic 97]

4.- Encuentre la solución general de la Ecuación Diferencial

[pic 98] Rpta: [pic 99]

5.- Resolver el problema de Cauchy

[pic 100] Rep: [pic 101]

6.- Resuelva la ecuación diferencial.

[pic 102] que pase por el punto (1,2) Rep: [pic 103]

7.- Resuelva la ecuación diferencial.

[pic 104] Rep: [pic 105][pic 106]

8.- Resuelva la ecuación diferencial.

[pic 107] Rep: [pic 108]

9.- Obtener la solución particular de la Ecuación Diferencial

[pic 109] Rpta: [pic 110]