“APLICACIÓN DE SERIES DE FOURIER PARA LA RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES QUE PRESENTEN SOLUCIÓN PARTICULAR”

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A esta serie se le llama serie Trigonométrica de Fourier, a la serie (1) también se le puede representar del siguiente modo

(2)[pic 21]

- Coeficientes de Fourier:

- Sea una función de periodo , integrable en el intervalo .[pic 22][pic 23][pic 24]

- Los coeficientes de Fourier de son[pic 25]

[pic 26]

[pic 27]

- La serie de Fourier para es la siguiente suma formal:[pic 28]

[pic 29]

- Funciones periódicas: La función , se dice que es una función periódica sí existe un número positivo “T” tal que , el número recibe el nombre de periodo de la función.[pic 30][pic 31][pic 32]

- Integral definida de una función periódica:

- Sea una función periódica con periodo T, se cumple que:[pic 33]

[pic 34]

- Funciones ortogonales:

- Se dice funciones reales son ortogonales en el intervalo igual a cero, es decir: , [pic 35][pic 36][pic 37][pic 38]

- Polinomios trigonométricos:

Un polinomio trigonométrico es una función de en de la forma:[pic 39][pic 40]

(1)[pic 41]

Donde son constantes reales[pic 42]

Si P un polinomio de la forma (1), el grado de P es el mayor entero k tal que [pic 43]

- Ecuaciones Diferenciales:

Una ecuación diferencial es la que contiene derivadas o diferenciales de una función incógnita:

Ejemplo:

[pic 44]

1.8.1: Ecuación diferencial parcial:

Se llama ecuación diferencial parcial si la función incógnita depende de varias variables independientes y las derivadas son derivadas parciales:

Ejemplos:

[pic 45]

(Ecuación diferencial de Laplace)

- Derivadas Parciales de una función de dos variables:

Si las primeras derivadas parciales de con respecto a las variables e son las funciones definidas como: [pic 46][pic 47][pic 48][pic 49]

[pic 50]

[pic 51]

Siempre y cuando el límite exista.

- Derivadas parciales de orden superior:

Como sucede con las derivadas ordinarias es posible hallar las segundas, terceras… derivadas parciales de una función de variables, siempre que tales derivadas existan.

Por ejemplo la función tiene las siguientes derivadas parciales de segundo orden:[pic 52]

[pic 53]

[pic 54]

[pic 55]

Referencia bibliográfica.

- Espinoza, E. (01 de enero de 2012). Series de Fourier. En Análisis Matemático IV (pp.717-718). Perú: edukperú.

- Espinoza, E. (01 de enero de 2012). Función Periódica. En Análisis Matemático IV (pp.708). Perú: edukperú.

- Espinoza, E. (01 de enero de 2012). Función Ortogonal. En Análisis Matemático IV (pp.714). Perú: edukperú.

- Espinoza, E. (01 de enero de 2012). Ecuaciones Diferenciales. En Análisis Matemático IV (pp.1-3 ). Perú: edukperú.

- Series Trigonométricas(s, f). En Series de Fourier. Recuperado el 04 de diciembre de 2016 de http://www.ma.uva.es/~antonio/Teleco/Apun_Mat2/Tema-13.pdf

- Funciones trigonométricas & Polinomios trigonométricos(s, f). En Series de Fourier. Recuperado el 02 de noviembre de 2016 de http://www.matematica.ciens.ucv.ve/labfg/sf/fourier.pdf

- Derivadas parciales(s, f). En Diferenciación de funciones de varias variables. Recuperado el 15 de noviembre de 2016 de http://www4.ujaen.es/~angelcid/Archivos/Analisis_Mat_II_09_10/Apuntes/Tema3.article.pdf