Sistemas de ecuaciones diferenciales

...

[pic 31]

La solución homogénea se construye usando las dos raíces de esta ecuación. La solución general para x se determina combinando esta solución homogénea con una solución particular que satisfaga la ecuación no homogénea.

Ejemplo:

Use el método de eliminación para resolver el siguiente sistema de dos ecua- ciones diferenciales de primer orden:

[pic 32]

[pic 33]

Solución.

Este es un sistema de dos ecuaciones lineales homogéneas de pri- mer orden con coeficientes constantes. Para encontrar su ecuación equivalente homogénea lineal de segundo orden con coeficientes constantes con una sola función incógnita, despejamos y de la primera ecuación y la diferenciamos con respecto a t como:

EC Despeje[pic 34]

[pic 35]

Ahora sustituimos estas relaciones en la segunda ecuación diferencial para eliminar y y y’’. Obtenemos:

[pic 36]

[pic 37]

Su ecuacion caracteristica es por tanto:

[pic 38]

Y por tanto sus raices son: y ; lo que produce que el resultado sea:[pic 39][pic 40]

[pic 41]

Ahora en la la EC. Despeje se sustituye el valor obtenido de x;

[pic 42]

[pic 43]

[pic 44]

Por tanto la solucion general sera:

[pic 45]

[pic 46]

Ahora si se busca una solucion particular, dadas las condiciones y [pic 47][pic 48]

[pic 49]

[pic 50]

Dando como resultado:

[pic 51]

[pic 52]

Entonces la solucion particular sera:

[pic 53]

[pic 54]

Observe que si todas las ecuaciones de un sistema tienen coeficientes cons- tantes, entonces la sola ecuación de orden superior obtenida por el método de eliminación también tendrá coeficientes constantes

4.2.2.-METODO DE VALORES CARACTERISTICOS.

Una alternativa al método de eliminación recién descrito es el método de valo- res característicos (también llamado método de determinantes), que proporciona una forma fácil y sistemática de obtener el polinomio característico.

Este método también es una excelente manera de introducir los conceptos básicos relativos al potente método de matrices (o método de vectores característicos).

El uso de este método también se limita a sistemas lineales con dos o tres ecuaciones de primer orden con coeicientes constantes (como lo hace el metodo de eliminacion). Los siste- mas lineales con un mayor número de ecuaciones pueden resolverse en forma más eiciente y sistemática mediante el método de matrices.

Considere el sistema de dos ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de primer orden con coeicientes constantes:

[pic 55]

[pic 56]

Suponemos que las funciones de solución x y y son de la forma:

[pic 57]

[pic 58]

Sustituyendo las ecuaciones de x y de y en las primeras ecuaciones se obtiene:

[pic 59]

[pic 60]

Dividiendo ambas ecuaciones entre y reacomodando, obtenemos:[pic 61]

[pic 62]

[pic 63]

que pueden considerarse como un sistema de dos ecuaciones algebraicas lineales homogéneas para los coeficientes desconocidos y .[pic 64][pic 65]

Como quizá recuerde de la teoría de sistemas lineales en álgebra, este sistema lineal homogéneo de ecuaciones algebraicas tendrá una solución no trivial si y solo si su determinante es igual a cero. Es decir;

[pic 66]

[pic 67]

Esta ecuación cuadrática en la incógnita A se llama polinomio característico del sistema lineal. Las dos raíces y de esta ecuación se llaman raíces características o valores característicos del sistema dado de ecuaciones.[pic 68][pic 69]

Un examen cuidadoso del determinante en la ecuación de la matriz de arriba revela un atajo para la determinación del polinomio característico. Usted resta de los elementos de la diagonal principal del determinante de los coeficientes:[pic 70]

Dicho de otro modo si se tiene:

[pic 71]

[pic 72]

Por tanto su determinante sera:

[pic 73]

Y simplemente se tendra que restar de la diagonal principal, para encontrar el polinomio caracteristico.[pic 74]

[pic 75]

Ya obtenido el polinomio, se procedera a buscar las raices, y resolver de manera similar a lo visto en el metodo de eliminacion.

Recuerde, del capítulo 3, que la solución general de la ecuación lineal homogénea de segundo orden con coeficientes constantes depende de si las dos raíces características y son reales y distintas, reales e iguales o complejas.[pic 76][pic 77]

Ejemplo:

Use el método de valores característicos para resolver el siguiente sistema de dos ecuaciones diferenciales de primer orden