Rectas en el plano cartesiano

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solución es un número, en este caso , y éste número se puede representar en la recta real:

En la ecuación de la recta , la solución ahora no es un punto, sino un conjunto de puntos del plano cartesiano, es decir, un conjunto de pares ordenados tales que cuando se sustituye, en la ecuación, la por y la por , se obtiene una igualdad.

Por ejemplo, el punto:

es solución de la ecuación

porque .

También es solución de la ecuación:

En otras palabras, y pertenecen a la recta cuya ecuación es:

Por otra parte, el punto no pertenece a la recta, pues al sustituir por 6 y por 4 en la ecuación de la recta, no se obtiene una igualdad:

De manera que la ecuación de una recta es una ecuación en el sentido ya conocido, sólo que la solución no es un único número, sino que hay infinitas soluciones: todos los pares ordenados de números reales que representan a todos los puntos de la recta en cuestión.

Ejercicio: encuentre 3 puntos más que pertenezcan a la recta cuya ecuación es y 3 puntos que no pertenezcan a ella.

Ahora se puede hacer una representación gráfica de la recta, para lo cual bastan las coordenadas de dos puntos distintos que pertenezcan a la recta, pues un hecho muy esencial acerca de las rectas es el siguiente:

Dados dos puntos del plano, hay una sola recta que pasa por esos dos puntos.

Por ejemplo, se escogen los puntos:

pertenecientes a la recta cuya ecuación es

Se grafican esos puntos:

Si has acertado en tus respuestas, felicitaciones, has hecho un buen progreso en tus estudios sobre las rectas en el plano cartesiano. Si no has acertado en algunas, revisa con cuidado tus cálculos y encuentra el error, para que comprendas por qué lo cometiste y así habrás aprendido mejor este tema.

Hasta ahora se han estudiado las rectas en el plano cartesiano, como simples figuras geométricas. En lo que sigue, se apreciará cómo, al representar en el plano cartesiano ciertos pares ordenados asociados a mediciones de distintos fenómenos de la vida cotidiana, se obtienen rectas como las representaciones en el plano de esos fenómenos.

Se realiza un maratón de caminata de 20 Kms., y se hacen mediciones del recorrido hecho por los tres participantes más rápidos del evento, en intervalos de tiempo iguales. Se obtienen los siguientes datos:

Tiempo Participante 1 Participante 2 Participante 3

30 min. 3 Kms. 2,5 Kms. 1,5 Kms.

1 hora 6 Kms. 5 Kms. 3 Kms.

3/2 horas 9 Kms. 7,5 Kms. 4,5 Kms.

2 horas 12 Kms. 10 Kms. 6 Kms.

5/2 horas 15 Kms. 12,5 Kms. 7,5 Kms.

3 horas 18 Kms. 15 Kms. 9 Kms.

Se procede ahora a representar en el plano cartesiano los datos, correspondientes al Participante 1, colocando en el eje de las abscisas el tiempo transcurrido y en el de las ordenadas, la distancia recorrida.

Si se calculan las proporciones entre cambio de ordenada y cambio de abscisa, como se hizo antes para calcular pendientes de rectas, se observa que esas proporciones son siempre iguales.

Los puntos representados son:

Se calculan algunas de las proporciones:

Con y

Con y

Con y

Con y

Todas las proporciones son iguales a 6, y eso significa que en cada hora transcurrida, el participante recorrió 6 Kms., y mantuvo constante su velocidad durante todo el maratón. Por eso, se puede completar la representación de los puntos en el plano, trazando un segmento de recta que los une a todos:

Esta representación del recorrido del participante 1 durante las primeras 3 horas del maratón es más precisa que la anterior, donde sólo había 6 puntos representados, porque en realidad el participante caminó sin parar durante esas 3 horas y en cualquier instante entre la hora 0 y la hora 3 se pudo haber medido la distancia recorrida. Si eso se hubiera hecho cada minuto, por ejemplo, y se graficaran los 180 puntos en el plano, esos puntos estarían todos sobre el segmento de recta dibujado arriba.

Se puede notar algo sumamente importante, ahora:

la velocidad del caminante, que es 6 Kms. por hora, es igual a lo que hemos llamado antes la pendiente de la recta.

La ecuación de la recta que contiene al segmento representado, es: .

Para reflexionar:

¿Puedes explicar por qué esa es la ecuación de la recta mencionada?

Si no puedes, revisa de nuevo, con cuidado, las explicaciones y los cálculos hechos antes para encontrar la ecuación de una recta.

En este ejemplo se puede apreciar la utilidad del plano cartesiano en el estudio de muchos fenómenos concretos, de los cuales este es uno de los más simples.

Ahora, se puede proceder a graficar el recorrido del participante 2 a través de las tres horas primeras del maratón (ver gráfica de la derecha)

Pero hay que asegurarse de que el participante 2 también mantuvo su